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Introduction
Algèbre
et Arithmétique
Bézout, Euclide,
Nombres Premiers
Analyse
Equation du second degré,
Méthode de dichotomie,
Suites récurrentes
Géométrie
Frises et Pavages,
Barycentre et Fractales
Graphes
Coloration d'un graphe, Recherche de
plus courts chemins
Théorème des quatre couleurs
Statistiques,
Simulations et Probabilités
Promenades aléatoires
Réflexion
Réflexion sur le rapport de
la commission Kahane
Programmation
Quelques algorithmes mis en oeuvre
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Marc Jambon (université
de la Réunion) nous propose d'abord sa "Réflexion
sur la notion de calcul et d'algorithme", présentée
au séminaire de l'IREM de la Réunion les 29 septembre et
27 octobre 2004.
Puis nous nous bornons ici à indiquer
quelques pistes de réflexion...
La Commission
de réflexion sur l'enseignement des mathématiques (CREM)
a déjà beaucoup réfléchi sur l'apport de l'algorithmique
dans l'enseignement des mathématiques. Installée le 17 avril
1999 par Claude Allègre et présidée par Jean-Pierre
Kahane, professeur à l'Université Paris-Sud et membre de
l'Académie des Sciences, la Commission de réflexion sur
l'enseignement des mathématiques réunit des enseignants
et des chercheurs, en liaison avec le Conseil national des programmes
et le groupe d'experts chargés d'élaborer les programmes
de mathématiques de l'enseignement secondaire.
Sa mission est de dégager les évolutions à long terme
des objectifs et des contenus de l'enseignement des mathématiques,
de l'école élémentaire à l'université,
et de faire évoluer en conséquence la formation initiale
et continue des enseignants de mathématiques ainsi que les concours
de recrutement.
Les rapports et documents de synthèses de cette commission peuvent
être consultés en ligne sur le site d'Eduscol.
Citons un extrait du rapport Informatique
et enseignement des mathématiques du CREM :
"Peu de domaines des mathématiques échappent à
l’expérimentation sur machine, qui permet souvent d’aller
un cran plus loin que le papier-crayon, et qui fournit également
visualisations et animations...
L’écriture d’un programme informatique est l’occasion
d’appliquer des règles logiques absolues dans un univers
clairement défini et limité. Ecrire un programme qui marche
récompense de ses efforts de réflexion, d’analyse
et de synthèse. Cela ne dispense pas de s’assurer que l’algorithme
termine dans tous les cas envisagés et qu’il le fait en temps
raisonnable. Cette étape est une démonstration mathématique."
 ARéflexion
sur la notion de calcul et d'algorithme
Le mot "calcul" vient du latin calculus,
caillou, par référence à la tradition qui raconte
qu'un berger de l'Antiquité comptait ses moutons avec un sac de
caillou. Le mot "algorithme" a une connotation plus savante,
il se réfère au médecin arabe du IXe siècle
Al-Khwarizmi, qui introduisit la numération décimale de
position dans le monde occidental. Pendant longtemps, on a cru que le
"calculable" était intuitif et qu'il n'y avait pas lieu
de le formaliser. Les premiers Intuitionnistes (première moitié
du XXe siècle) et même le Constructiviste E. Bishop (seconde
moitié du XXe siècle) abondent encore dans ce sens. Church
et d'autres mathématiciens, à partir du début du
XXe siècle, ont éprouvé le besoin de formaliser le
concept de "fonction calculable" et ce en liaison avec le développement
de l'informatique. Pour ma part, je mettrai en évidence la nécessité
du recours à la logique intuitionniste et, en liaison avec l'étymologie
des mots rappelée ci-dessus, j'examinerai différentes propositions
de définition du concept de "fonction calculable". Le
fait même qu'il en existe plusieurs confirme, s'il en était
encore besoin, la nécessité d'une formalisation mathématique.
Enfin, la définition du Continu faisant appel à la notion
de suite, un Continu "algorithmique" (susceptible de donner
lieu à des applications numériques) se doit de se référer
à ce qui précède.
Cette réflexion
est présentée au format PDF (fichier de 1940 Ko). Elle
est accompagnée du document
Mathematica. Il vous faudra télécharger MAthReader
sur le site de Wolfram (la société qui commercialise Mathematica)
pour le visualiser. En attendant, vous pouvez consulter une version
imprimée au format PDF de ce document (226 Ko).
AMathématiques
empiriques ?
L'équipe REHSEIS
(Recherches Epistémologiques et Historiques sur les Sciences Exactes
et les Institutions Scientifiques) est une équipe de chercheurs
qui dépend du CNRS. Ils font régulièrement des journées
d'étude sur un thème donné.
On lira avec intérêt le rapport de la journée d’étude
du 23 juin 1998 : Philosophie
et mathématiques : sur le quasi-empirisme des mathématiques
. Il y est établi le lien entre l’empirisme en mathématiques
et l’expérience mathématique. On y étudie l'effet
de l’introduction de l’informatique dans l'activité
mathématique. Une réflexion sur les démonstrations
"assistées" par ordinateurs est présentée
est proposée ainsi qu'une approche des mathématiques expérimentales
qui sont apparues dans les années soixante-dix avec le développement
de l’informatique.
Retenons par exemple de ce rapport qu' "avec les progrès du
matériel, du logiciel et de la théorie, l’ordinateur
joue maintenant un rôle d’outil de laboratoire dans les mathématiques
pures et appliquées ; un rôle qui était tenu au 18ème
et au 19ème siècles par les sciences physiques.", d'où
l'idée de proposer la création de laboratoires de Sciences
Mathématiques.
ALaboratoires
de Sciences Mathématiques
La Commission
de réflexion sur l’enseignement des mathématiques
émet la suggestion suivante, dans son rapport sur l'informatique
et l'enseignement des mathématiques :
Les lycées pourraient abriter des laboratoires de sciences mathématiques
à côté de ceux de sciences physiques. Elèves
et professeurs y trouveraient documentation, matériels informatiques,
logiciels,... Ils pourraient s’y réunir, constituer des ateliers,
inviter des conférenciers ou des consultants.
Des créneaux horaires spécifiques pourraient être
réservés aux professeurs, pour leur formation continue...
C'est à nous de réfléchir à
la réalisation effective de ce genre de laboratoires. C'est à
nous de faire évoluer l'enseignement des mathématiques car
"tous les mathématiciens-informaticiens s’accordent
sur ce fait : l’ordinateur est devenu un véritable outil
du mathématicien. Et c’est un outil de découverte
et de création ; les mathématiques ne peuvent plus être
considérées comme le seul produit de la " pensée
pure " des mathématiciens." (équipe REHSEIS).
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