Le rapport sur l’informatique de la commission Kahane (décembre 2000) commence par se poser la question fondamentale suivante : « Mais comment raisonnablement penser que l’on peut se dispenser d’un apprentissage et d’une pratique des concepts de base de l’algorithmique et de la programmation ? ».
La partie "Algorithmes et Programmation" d'IcosaWeb, se donne pour objectif de répondre à cette question.
On y trouvera de nombreux algorithmes (sous forme d'organigrammes, de programmes TI-92, de fiches Excel, de programmes écrits en C et en logo) et un essai de réflexion autour de l'introduction de la notion d'algorithme dans l'enseignement.
Un algorithme peut être défini comme une suite finie d’opérations élémentaires constituant un schéma de calcul ou de résolution d’un problème.
Plusieurs représentations sont possibles pour un algorithme. L’organigramme, l’arbre de classification et les programmes sur calculatrice ou sur ordinateur sont à l’algorithme ce que le dessin est à la figure. L’algorithme est universel, c’est l’invariant de ces différents objets.
Un algorithme permet de résoudre un problème donné en un nombre fini d’étapes. Ceci permet une lecture algorithmique à plusieurs niveaux des divers champs mathématiques. Ainsi, les programmes de construction en géométrie sont de bels exemples d’algorithmes, du côté de l’algèbre, on dispose des résolutions exactes d’équations (en particulier matricielles) et du côté de l’analyse, cela se pose en terme d’inégalités puisque l’analyse est par excellence la science des majorations. Le calcul approché peut être alors lu à 2 niveaux : soit on effectue un calcul approché de la solution exacte d’un problème, soit on effectue le calcul exact de solutions que l’on sait approchées.
Dans les programmes de lycée (France) de novembre 1994, il convenait déjà « de mettre en valeur les aspects algorithmiques des problèmes étudiés, en particulier à propos de la gestion des calculs ». Les élèves devaient déjà savoir programmer une calculatrice scientifique, les exigibles étant de savoir programmer une instruction séquentielle, une instruction conditionnelle, une instruction itérative, comportant éventuellement un test d’arrêt.

Dans la partie « Algorithmes et programmation » d’IcosaWeb, nous avons voulu revisiter les programmes de lycée d’un point de vue algorithmique.
En analyse, les exemples sont nombreux : établir l’organigramme de la recherche des solutions d’une équation du second degré, illustrer le second degré à l’aide d’un fichier Excel où les coefficients sont modifiables à l’aide d’un curseur, écrire un programme de résolution d’une équation par la méthode de dichotomie, programmer le calcul des termes de la suite de Fibonacci ou de la suite arithmético-géométrique, introduire la fonction exponentielle en traçant pas à pas les solutions d’une équation différentielle sur CABRI, etc…
En arithmétique, à part la programmation, classique, de l’algorithme d’Euclide et de la décomposition de Bezout, on peut créer un petit programme qui crypte des données ou qui résout un système de congruence.
En géométrie, des algorithmes de classification des 7 groupes de frises et des 17 types de pavages du plan permettent de reconnaître facilement les « dentelles la case » (mot créole qui désigne les lambroquins) ou les mosaïques de l’Alhambra. Il est possible d’effectuer une introduction algorithmique du barycentre et de montrer ses nombreuses applications (courbes de Bézier, construction de l’ellipse de Steiner, couleurs RGB). L’utilisation du langage LOGO sera particulièrement adaptée pour la construction de figures répétitives (fractales, jolygones). De nombreux autres algorithmes de construction seront illustrés.
Du côté des statistiques, des simulations de promenades aléatoires ont été réalisées sur calculatrice et sur Excel. Des histogrammes et des boîtes à moustaches automatiques, réalisés avec Excel, permettent d’observer rapidement le comportement de grandes séries de données.
L’introduction des graphes dans les programmes est une preuve du pas que prend l’informatique sur les mathématiques. Une approche expérimentale du théorème des 4 couleurs peut se faire à l’aide d’un petit logiciel qui permet de colorier une carte de France divisée en départements. Des algorithmes de coloration d’un graphe ou de recherche de plus courts chemins peuvent être exécutés à l’aide d’applets Java sur Internet. L’utilisation de graphes dans les générateurs de textes aléatoires sera illustrée.
L'apport de l'informatique au niveau de l'expérimentation et de la modélisation en classe des concepts de base est incontestable. Les Mathématiques ne doivent plus être uniquement une matière complètement abstraite, mais elles doivent devenir progressivement, au même titre que la physique et les SVT, une matière aussi expérimentale dans laquelle les nouvelles notions seraient découvertes par les élèves au cours de TP de mathématiques-informatique d'introduction.
Pour clore cette introduction, citons le mot du CREM :
Les lycées pourraient abriter des laboratoires de sciences mathématiques à côté de ceux de sciences physiques. Elèves et professeurs y trouveraient documentation, matériels informatiques, logiciels,... Ils pourraient s’y réunir, constituer des ateliers, inviter des conférenciers ou des consultants.
Des créneaux horaires spécifques pourraient être réservés aux professeurs, pour leur formation continue.

Sur cet espace "algorithme et programmation", vous trouverez des algorithmes sous forme d'arbres ou d'organigrammes mais aussi des programmes pour calculatrices TI-92 et des programmes écrits soit en langage C soit en langage logo.
Cet item du site IcosaWeb est en pleine phase de développement et est appelé à évoluer et surtout à s'enrichir. Nous appelons les collègues à nous communiquer des idées d'algorithmes qui pourraient enrichir ces pages.

i	Introduction : cours complet d'algorithmique
		Nous vous proposons tout d'abord un cours complet d'algorithmique et de programmation, avec exercices corrigés. Enseignement dispensé dans le DESS AIGES (université Paris 7) par Christophe Darmangeat que nous remercions de nous avoir laissé disposer de son cours. Le cours en ligne : http://aigespc57.cicrp.jussieu.fr/algo/index.htm Le cours au format zip pour consultation hors ligne : Télécharger le cours d'algorithmique fichier zippé de 391 Ko

i	Algèbre et Arithmétique
		Les pages d'algorithmes en arithmétique proposent des algorithmes sur : - Nombres premiers - Décomposition de Bézout - Décomposition d'un nombre en facteurs premiers - Application à la cryptographie : méthode RSA - Systèmes de congruence - Equations diophantiennes

  

i	Analyse
		Quelques algorithmes de lycée sont proposés ici : la résolution approchée d'une équation à l'aide de la méthode de dichotomie, la recherche des solutions d'une équation du second degré, des calculs de nième terme de suites récurrentes. Les thèmes suivants sont abordés : - Second degré - Dichotomie - Suites récurrentes simples, doubles (Fibonacci, la suite arithmético-géométrique)) - Equations différentielles Algorithmes post-bac - Résolution d'équations (Newton, sécante)

i	Géométrie
		Vous trouverez ici des algorithmes de géométrie tels que le regroupement en groupes des 7 frises et des 17 pavages du plan, la recherche de l'existence d'un barycentre de 2 points, quelques fractales simples que l'on peut dessiner dans le secondaire. Les thèmes suivants sont abordés : - Frises et pavages - Barycentre et applications : introduction algorithmique du barycentre, applications : courbes de Bézier, couleurs RGB, l'image par une transformation affine de 3 points détermine entièrement la transformation affine ( construction de l'ellipse de Steiner, ellipse de Pascal comme image d'un cercle) - Figures répétitives : (langage LOGO) Fractales, jolygones - Algorithmes de construction : heptagone régulier (CAPES interne 91) (= intersection d'un cercle et d'une hyperbole équilatère), le polygone régulier à 17 côtés - des courbes intégrales d'une équation différentielle (par la méthode d'Euler)

i	Statistiques, Simulations et Probabilités
		Des programmes TI-92 et Excel proposent ici des simulations telles que le parcours d'un pion sur un tétraèdre. Simulations de promenades aléatoires (programmes TI et Excel) Petit projet de statistiques (contient le résumé à 5 valeurs de John Tukey)

i	Programmation
		Tous les algorithmes précédents peuvent être écrits dans un langage de programmation. Pour l'instant, dans notre espace programmation, vous trouverez un Net-guide LOGO (PDF 326 Ko).