Dualité des polyèdres Le cube | Le dodécaèdre | Le tétraèdre | Et les autres ?

Introduction      Pourquoi 5 ? Pour ceux qui veulent savoir pourquoi il n'y a que cinq polyèdres réguliers convexes...   Platon La Terre, le feu, l'air, l'eau et l'Univers : les cinq polyèdres réguliers convexes...   Dual Ou quand on joint les centres des faces...     Icosaèdre On y parle de ballon de foot, d'icosaèdre tronqué et d'icosidodécaèdre. Un premier voyage au pays des solides d'Archimèdes.   Cube Quelle troncature peut donner le cube tronqué ? le cuboctaèdre ?     Live3D Applets Un lien direct sur le site de Martin Kraus, le créateur des merveilleuses classes Java qui ont rendu possible les animations de cette rubrique.

i Dualité : exemple du cube Quand on joint les centres des faces adjacentes (i.e. qui ont une arête commune) d'un polyèdre par des segments, on obtient les arêtes d'un nouveau polyèdre. Nous allons examiner, pour chacun des 5 polyèdres réguliers, ce que cela donne... Prenons un cube, et joignons les centres de ses faces : Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe   Tiens, tiens... Nous tombons sur un autre solide de Platon : l'octaèdre régulier. Voici maintenant ce qui se passe si on essaie de joindre les centres (de gravité) des huit faces de cet octaèdre : Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe   Nous retrouvons encore un cube ! Nous dirons qu'il y a dualité entre ces deux types de solides : l'octaèdre est le dual du cube et le cube est le dual de l'octaèdre. Le nombre "2" qui apparaît dans le mot "dual" ou "dualité" se justifie par le fait qu'en deux étapes on revient sur un solide du même type : Le dual du dual du cube est le cube. Le dual du dual de l'octaèdre est l'octaèdre. On peut ainsi facilement savoir quel est le dual du dual du dual du dual du dual du dual du dual du dual du dual du dual du dual du dual du dual du dual du dual du dual du cube !!! (à votre avis ?).   i Le dodécaèdre régulier Comme pour le cube, nous joignons les centres des 12 faces d'un dodécaèdre par des segments : Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe Un icosaèdre ! Bien entendu, nous n'en restons pas là et nous allons vite examiner ce que cela donne lorsqu'on recommence l'opération en partant de l'icosaèdre : Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe Nous voilà donc ainsi face au même type de situation que pour le cube et l'octaèdre : Le dual du dodécaèdre est l'icosaèdre Le dual de l'icosaèdre est le dodécaèdre.   i Le tétraèdre Parmi les 5 solides de Platon, le tétraèdre régulier fait un peu cavalier seul pour ce qui est de la dualité... Si nous joignons les centres (de gravité) des 4 faces de ce solides, nous obtenons ceci : Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe Encore un tétraèdre régulier ! Ce solide est donc son propre dual, et ainsi la question du dual du dual du dual du dual du dual du dual du dual du tétraèdre ne se pose même plus !