Introduction Détails techniques | définition et remarques | contenu

Introduction      Pourquoi 5 ? Pour ceux qui veulent savoir pourquoi il n'y a que cinq polyèdres réguliers convexes...   Platon La Terre, le feu, l'air, l'eau et l'Univers : les cinq polyèdres réguliers convexes...   Dual Ou quand on joint les centres des faces...     Icosaèdre On y parle de ballon de foot, d'icosaèdre tronqué et d'icosidodécaèdre. Un premier voyage au pays des solides d'Archimèdes.   Cube Quelle troncature peut donner le cube tronqué ? le cuboctaèdre ?     Live3D Applets Un lien direct sur le site de Martin Kraus, le créateur des merveilleuses classes Java qui ont rendu possible les animations de cette rubrique.

i Quelques détails techniques pour commencer... Tous les polyèdres que nous vous présentons dans cette rubrique peuvent être manipulés avec la souris. Le "cliquer-glisser" entraine le déplacement de l'observateur sur une sphère virtuelle ayant le même centre que le polyèdre considéré, ce qui donne l'impression de survoler le solide. Une "loupe" est aussi implémentée dans ces applets : il suffit de maintenir la touche "Majuscule" enfoncée pendant un "cliquer-glisser". Vous pouvez vous entraîner sur l'exemple ci-contre. Comme souvent sur le net, l'interactivité se paye en temps : pour que cette page d'introduction se charge, il a peut-être fallu que vous patientiez un certain temps (pour l'instant, avec un modem classique, qui dit "Java", dit "patience" !). Mais rassurez-vous : maintenant que cela est fait, les classes Java sont en mémoire, et du coup les prochaines pages de cette rubrique devraient se charger beaucoup plus rapidement ! Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe   i Polyèdres : définition et remarques Etymologiquement, polyèdre veut dire "plusieurs faces planes". Comme trois faces planes ne suffisent pas à constituer un solide fermé, on commence la collection à partir du tetraèdre (tetra : quatre). Toutes les faces d'un polyèdre sont des polygones. Trois de ces solides nous sont familiers depuis le plus jeune âge : le cube, le pavé et la pyramide sont des mots du langage courant. Les autres polyèdres, en quantité infinie, ont fait l'objet de divers classements suivant, par exemple, la répartition des faces entre chaque sommet, la nature de ces faces, etc... Quand l'homme classe, en général il donne des noms : pour notre plus grand bonheur, les noms de baptème de la plupart des polyèdres sont de toute beauté... Que pensez-vous de "triacontaèdre rhombique" ? d"icositétraèdre trapézoidal" ? de "rhombicosidodécaèdre" ? d'"hexacontaèdre pentagonal" ? Ce sont bien des noms de polyèdres... et pas des insultes du Capitaine Haddock !   i Contenu de ces pages Cette rubrique n'est pas seulement une galerie d'applets Java : vous y trouverez de nombreuses informations sur ces solides particuliers de l'espace qu'on appelle les polyèdres. Pour l'instant, seuls les polyèdres réguliers, ainsi que certains dérivés, sont à l'affiche : les liens de la colonne de gauche vous invitent à une ballade au pays de ces merveilleux solides. Voici quelques détails supplémentaires sur le contenu de ces pages :   Premiers pas : les solides de Platon   Pourquoi 5 ? Après quelques définitions utiles, nous vous livrons une petite démonstration très imagée, ou devrions-nous dire très java-isée, qui explique pourquoi il y a exactement cinq polyèdres réguliers convexes. Platon On y retrouve nos 5 polyèdres réguliers convexes, un peu d'histoire et de nombreux morceaux choisis du "Timée" de Platon qui nous expliquent pourquoi ces solides ont fait l'objet de tant d'admiration. A travers les nombreux passages de ce texte philosophique, nous verrons qu'en Grèce, cinq siecles avant Jésus-Christ, la recherche de la pureté, de l'équilibre et de l'harmonie s'appliquait aussi aux mathématiques. Dual Quand on joint les centres des faces adjacentes (i.e. qui ont une arête commune) d'un polyèdre donné par des segments, on obtient les arêtes d'un nouveau polyèdre. Pour des polyèdres simples, on peut arriver assez facilement à imaginer ce que cela va donner : en partant d'un cube, on obtient l'octaèdre régulier, et en partant de l'octaèdre régulier, on obtient le cube. On dit que le cube et l'octaèdre régulier sont duaux. Troncatures et solides d'Archimède Il s'agit, pour être plus precis, de troncatures par les sommets. Grosso modo, le but du jeu est de prendre un polyèdre régulier, un sabre à cannes - ça fait plus local qu'une scie - et de se défouler sur ce pauvre solide qui ne nous a strictement rien fait... "défouler" n'est peut-être pas le mot, car il va falloir le faire suivant des plans bien précis...   Troncatures de l'icosaèdre En tronquant d'une certaine manière tous les sommets d'un icosaèdre, on obtient un solide d'Archimède très celèbre : le ballon de football. Il s'agit, à travers cet exemple, de bien se familiariser avec les troncatures. Dans cette même page, nous vous invitons à visiter, grâce aux Applets Java, l'intérieur d'un icosaèdre tronqué... Nous terminons par la présentation d'un autre solide Archimédien : l'icosidodécaèdre. Troncatures du cube Dans un premier temps, nous nous intéressons plus particulièrement à la recherche d'un coefficient de troncature qui peut générer un solide d'Archiméde : ce faisant, nous allons découvrir le Cube Tronqué, et ensuite le Cuboctaèdre.