Les corps platoniciens Quatre éléments | Les triangles | Le tétraèdre | L'octaèdre | L'icosaèdre | Le Cube | Le cinquième élément

Introduction      Pourquoi 5 ? Pour ceux qui veulent savoir pourquoi il n'y a que cinq polyèdres réguliers convexes...   Platon La Terre, le feu, l'air, l'eau et l'Univers : les cinq polyèdres réguliers convexes...   Dual Ou quand on joint les centres des faces...     Icosaèdre On y parle de ballon de foot, d'icosaèdre tronqué et d'icosidodécaèdre. Un premier voyage au pays des solides d'Archimèdes.   Cube Quelle troncature peut donner le cube tronqué ? le cuboctaèdre ?     Live3D Applets Un lien direct sur le site de Martin Kraus, le créateur des merveilleuses classes Java qui ont rendu possible les animations de cette rubrique.

Nota Bene : Toute les citations de cette pages sont tirées du Timée de Platon (PLATON, Oeuvres complètes, tome X, Timée-Critias). Texte établi et traduit par A. Rivaud, éditions Les Belles Lettres, 1925.    i Les quatres corps de base Dans un de ses dialogues, intitulé Timée, Platon se propose de mettre sur pied un système "cohérent" d'explication du monde. Pour lui, l'Univers a été créé à partir de quatre corps de base : la Terre, le feu, l'air et l'eau. "[...] Par ces procédés et à l'aide de ces corps ainsi définis et au nombre de quatre, a été engendré le corps du Monde." Ses explications sur le pourquoi et le comment sont longues et très techniques... Nous n'en faisons pas état dans cette page, cependant, les amateurs de philosophie platonicienne pourront se régaler à la lecture du fichier Timee.pdf (format PDF : 56K). Après avoir présenté et justifié l'existence de ces quatre corps comme éléments constituants du Monde, Platon nous donne son idée sur l'ordre dans lequel ils doivent s'agencer : "[...] De là vient que Dieu, commençant la construction du Corps du Monde, a débuté, pour le former, par prendre du feu et de la terre. Mais, que deux termes forment seuls une belle composition, cela n'est pas possible, sans un troisième" "[...] Ainsi, le Dieu a placé l'air et l'eau au milieu, entre le feu et la terre, et il a disposé ces éléments les uns à l'égard des autres, autant qu'il était possible dans le même rapport, de telle sorte que ce que le feu est à l'air, l'air le fût à l'eau, et que ce que l'air est à l'eau, l'eau le fût à la terre. De la sorte, il a uni et façonné un Ciel à la fois visible et tangible."   i Les triangles Vers la fin du Timée, le philosophe exprime son souci de mathématiser l'Univers. Ces quatre corps, bases de la construction du monde, sont des polyèdres réalisés à partir de triangles rectangles de deux types : "[...] Or tous les triangles tirent leur principe de deux types de triangles, dont chacun a un angle droit et les autres aigus." Les premiers sont des triangles rectangles isocèles (i.e. les moitiés d'un carré découpé selon sa diagonale) : "[...] De ces triangles, l'un a, de part et d'autre, une partie de l'angle droit divisée par des côtés égaux" Les seconds sont des triangles rectangles dont les angles aigus mesurent 30° et 60° (i.e. les moitiés d'un triangle équilatéral découpé suivant l'une de ses hauteurs) : "[...] L'élément mathématique de cette espèce est celui dont l'hypoténuse a une longueur double de celle du plus petit côté de l'angle droit." Pour confectionner ses quatre solides, Platon a besoin de triangles équilatéraux et il nous explique comment les construire à partir de triangles rectangles 30°/60°... Là encore, comme dans tout ce qui touche à la géométrie, Platon recherche la pureté, l'harmonie et l'équilibre. Au lieu d'assembler deux triangles comme ceci : Il nous livre une construction un peu plus technique qui fait apparaître une répartition équilibrée des triangles rectangles autour du centre de gravité : "[...] Deux de ces triangles-là s'accolent selon la diagonale du quadrilatère, et cette opération est renouvelée trois fois, de manière que toutes les diagonales et tous les petits côtés des angles droits viennent coïncider en un même point qui est comme un centre. Il naît ainsi un triangle équilatéral unique, qui est composé de petits triangles, au nombre de six." Nous allons maintenant voir, à grand renforts de citations, à quoi ressemblaient ces polyèdres très particuliers...   i Le tétraèdre régulier : le feu La description du premier solide commence ainsi : "Quatre de ces triangles équilatéraux, réunis selon trois angles plans, donnent naissance à un seul et même angle solide qui a une valeur immédiatement inférieure à celle de l'angle plan le plus obtus. Et quand sont formés quatre angles de ce type, on a la première espèce de solide, qui a la propriété de diviser en parties égales et congruentes la surface de la sphère dans laquelle elle est inscrite."   Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe Le tétraèdre, parce plus petit et plus mobile est associé au feu : "[...]Ainsi, entre toutes ces figures, celle qui a les bases les plus petites doit avoir forcément la nature la plus mobile : c'est toujours la plus coupante, la plus aiguë de toutes, et en outre la plus légère, puisqu'elle est composée du plus petit nombre des mêmes parties."   i L'octaèdre régulier : l'air "La seconde espèce est composée des mêmes triangles. Huit d'entre eux se réunissent pour former des triangles équilatéraux, et ceux-ci forment un angle solide unique, fait de quatre angles plans. Quand on construit six angles solides de cette sorte, le corps de la deuxième espèce se trouve achevé." Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe L'octaèdre, forme intermédiaire entre le tétraèdre/feu et l'icosaèdre/eau est attribué à l'air.   i L'icosaèdre régulier : l'eau "La troisième espèce est formée par le groupement de cent vingt des triangles élémentaires, c'est-à-dire de douze angles solides, dont chacun est compris entre cinq triangles plans équilatéraux, et elle a vingt bases qui sont vingt triangles équilatéraux. " Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe   i L'hexaèdre régulier (le cube) : la terre "Quand il a eu produit ces trois solides, le premier type de triangle a cessé sa fonction. À son tour le triangle isocèle a engendré la nature du quatrième corps élémentaire. Ce corps est formé par quatre isocèles : les côtés de leurs angles droits se réunissent en un centre et forment une figure quadrangulaire équilatérale. Six de ces figures, en s'accolant, donnent naissance à huit angles solides, dont chacun est constitué par l'union harmonique de trois angles plans, Et la figure ainsi obtenue est la figure cubique, laquelle a pour base six surfaces quadrangulaires, à côtés égaux." Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe   i Le cinquième élément : le dodécaèdre La cinquième forme, le dodécaèdre, non réductible aux triangles choisis puisque ses faces sont des pentagones, mais qui est celle qui se rapproche le plus de la sphère, représentera l'Univers : "[...]Il restait encore une seule et dernière combinaison ; le Dieu s'en est servi pour le Tout, quand il en a dessiné l'arrangement final." Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe