Les troncatures du cube Le Cube tronqué | Le Cuboctaèdre

Introduction      Pourquoi 5 ? Pour ceux qui veulent savoir pourquoi il n'y a que cinq polyèdres réguliers convexes...   Platon La Terre, le feu, l'air, l'eau et l'Univers : les cinq polyèdres réguliers convexes...   Dual Ou quand on joint les centres des faces...     Icosaèdre On y parle de ballon de foot, d'icosaèdre tronqué et d'icosidodécaèdre. Un premier voyage au pays des solides d'Archimèdes.   Cube Quelle troncature peut donner le cube tronqué ? le cuboctaèdre ?     Live3D Applets Un lien direct sur le site de Martin Kraus, le créateur des merveilleuses classes Java qui ont rendu possible les animations de cette rubrique.

i Le cube tronqué Prenons maintenant un polyèdre régulier plus simple et plus connu : le cube. Comme nous l'avons vu pour l'icosaèdre, voici une suite de 4 petites applets qui représente ce qui se passe lorsqu'on tronque le cube au 1/10, au 1/5, au 1/4 et au 1/3. Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe La propriété 1 de la page "Troncature de l'icosaèdre" s'applique ici aussi : tous les "trous" sont des triangles équilatéraux. Comme pour l'icosaèdre, nous allons essayer de voir si nous ne pourrions pas découvrir, en tronquant ce cube d'une certaine manière, un nouveau solide d'Archimède. En vertu de la définition, il faut, pour que la troncature d'un cube soit un solide d'Archimède, que les six octogones soient réguliers. A première vue, la dernière Applet ci-dessus, celle de la troncature au tiers, semble répondre à cette condition... Malheureusement, tel n'est pas le cas : Effectuons une troncature au tiers sur un cube d'arête 1 : le dessin ci-contre représente une face frontale octogonale du solide obtenu. On a : Comme BC est différent de BD, l'octogone n'est pas régulier. Ce faux pas nous amène donc à nous poser cette simple question : en partant d'un cube d'arête 1, la longueur AB représente le coefficient de la troncature. Pour quelle valeur de AB a-t-on alors BC = BD ? Posons x=AB. On trouve facilement que : On doit donc avoir : Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe  Voici donc un autre solide d'Archimède, appelé Cube Tronqué.   i Le cuboctaèdre Comme nous l'avions fait pour l'icosaèdre, nous pouvons essayer de voir ce que donne pour le cube la troncature maximale, c'est à dire celle de coefficient 1/2 : Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe   Le polyèdre obtenu est là encore un solide d'Archimède : la démonstration est très courte !. En plus des propriétés des solides Archimédiens, ce polyèdre en possède une assez intéressante (comme c'était aussi le cas pour l'icosidodécaèdre) : chacune de ses faces est entourée d'un même type de polygone. On dit qu'il est "quasi-régulier".