Les troncatures de l'icosaèdre L'Icosaèdre tronqué | L'icosidodecaedre

Introduction      Pourquoi 5 ? Pour ceux qui veulent savoir pourquoi il n'y a que cinq polyèdres réguliers convexes...   Platon La Terre, le feu, l'air, l'eau et l'Univers : les cinq polyèdres réguliers convexes...   Dual Ou quand on joint les centres des faces...     Icosaèdre On y parle de ballon de foot, d'icosaèdre tronqué et d'icosidodécaèdre. Un premier voyage au pays des solides d'Archimèdes.   Cube Quelle troncature peut donner le cube tronqué ? le cuboctaèdre ?     Live3D Applets Un lien direct sur le site de Martin Kraus, le créateur des merveilleuses classes Java qui ont rendu possible les animations de cette rubrique.

i Le solide de Zinédine Zidane : l'icosaèdre tronqué Le ballon de football homologué, comme celui que Zidane a fait entrer sans visa dans les buts brésiliens, est l'un des 13 solides d'Archimède : Définition : Les solides d'Archimède sont les polyèdres faits de 2 ou 3 types de polygones réguliers à côtés égaux qui se répartissent toujours de la même façon et dans le même ordre autour de chaque sommet. Ce polyèdre s'appelle "icosaèdre tronqué" et, comme son nom l'indique, il est obtenu par troncature de l'icosaèdre. Munissez-vous d'un icosaèdre. Si on veut, par exemple, tronquer un sommet S au 1/10ème, il faut commencer par marquer cinq points A,B,C,D et E sur les cinq arêtes qui partent de S de sorte que :  Intéressons-nous maintenant à une propriété remarquable des solides de Platon : Propriété 1 : Sur les arêtes issues d'un même sommet, les points qui sont situés à une distance donnée de ce sommet forment un polygone régulier. La propriété 1 nous indique pour notre exemple que ABCDE est un pentagone régulier, mais aussi, par conséquent, que les points A, B, C, D et E sont sur un même plan. Munissez-vous donc d'une scie, d'un sabre ou d'une tronçonneuse, et coupez l'icosaèdre suivant ce plan : nous venons de tronquer le sommet S au 1/10ème (faites attention de ne pas vous tronquer le pouce ou l'index pendant l'opération !). Plus généralement, la troncature de l'icosaèdre au 1/10ème est le solide que l'on obtient après avoir tronqué tous ses sommets au 1/10ème de ses arêtes. Les 4 applets ci-dessous montrent respectivement l'icosaèdre, sa troncature au 1/10, sa troncature au 1/5 et sa troncature au 1/4 : Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe   Les trois dernières applets illustrent bien notre propriété 1 : les "trous" laissés par nos coups de sabre sont bien en forme de pentagone régulier. Cependant, si on s'intéresse plus particulièrement à ce qui reste du solide, on remarque que les faces noires sont des hexagones non réguliers. Les trois derniers polyèdres ne peuvent donc pas être des solides d'Archimède. Voici maintenant ce qui se passe lorsqu'on tronque un icosaèdre au 1/3 :   Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe   Voilà donc notre ballon de foot ! En tronquant un icosaèdre au tiers, on obtient un solide possédant les caractéristiques suivantes : Il est composé de 12 pentagones réguliers et de 20 hexagones réguliers à côtés égaux. Autour de chaque sommet, ces polygones réguliers se répartissent toujours de la même façon et dans le même ordre autour de chaque sommet : hexagone - hexagone - pentagone. Il s'agit donc d'un solide d'Archimède. Explications : Supposons pour simplifier que l'arête de notre icosaèdre de départ mesure 1. Tronquons chacun de ses sommets au tiers. La propriété 1 nous garantie que les pentagones sont réguliers : dans notre cas, le côté de chaque pentagone mesure donc 1/3. Considérons maintenant l'un des 20 hexagones. 3 de ses côtés bordent des "trous" pentagonaux : ceux-ci sont donc de longueur 1/3. Les 3 autres côtés sont ce qui reste de l'arête de l'icosaèdre d'origine : leurs côtés mesurent donc 1 - 1/3 - 1/3 = 1/3. Il en résulte que dans cette troncature, les six côtés de l'hexagone mesurent tous 1/3. On montre facilement que les sommets de chacun de ces hexagones sont sur un même cercle. Note du WebMaster : Comme c'est l'heure de la récrée, je vous propose une petite activité "détente", qui m'a fortement impressionnée... Après avoir réalisé le solide ci-dessus et aprés l'avoir mis en page grâce aux fantastiques classes Java de Martin Kraus, je me suis aperçu qu'il était possible de visiter l'intérieur du solide (à la suite d'une erreur de manipulation !). Si ce voyage vous tente, vous pouvez procéder comme ceci : Mettez un "trou" pentagonal face à vous à l'aide d'un "cliquer-glisser". Avec la commande "Majuscule-cliquer-glisser", rappochez-vous de ce "trou" et continuez à grossir jusqu'à ce qu'il se produise un scintillement de l'image. Passé cet "éclair noir", vous vous trouvez à l'intérieur du solide. Avec des cliquer-glisser, on peut ainsi visiter l'intérieur du ballon de foot ! Pour terminer, notons qu'il n'est absolument pas nécessaire de se trouver en présence d'un solide troué pour pouvoir en visiter l'intérieur ! En se rapprochant de plus en plus d'une face "pleine", on finira aussi par entrer dans le solide, mais cette fois-ci en jouant aux passe-murailles !   i En coupant un peu plus : l'icosidodécaèdre Reprenons maintenant notre suite de troncatures : il est bien évident que le coefficient de troncature ne peut pas être supérieur à 1/2. Réaliser la troncature d'un polyèdre au 1/2 revient à joindre les milieux de ses arêtes. Voici ce que donne la troncature de l'icosaèdre au 1/2 (comme les "trous" commençaient à devenir trop important, nous les avons "bouché" avec des pentagones réguliers pour améliorer la visibilité) :   Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe   Nous sommes ici en présence d'un autre solide d'Archimède, appelé icosidodécaèdre, constitué de 20 faces triangulaires et de 12 faces pentagonales. Explications : Supposons pour simplifier que l'arête de notre icosaèdre de départ mesure 1. Tronquons chacun de ses sommets à la moitié. La propriété 1 nous garantie que les pentagones sont réguliers : dans notre cas, le côté de chaque pentagone mesure donc 1/2. Les 20 triangles ont tous été obtenus de la même manière : on considère une face de l'icosaèdre de départ (triangle équilatéral de côté 1), et on joint les milieux de ses 3 côtés. Il en résulte que ces triangles sont des triangles équilatéraux de côté 1/2.