Pourquoi 5 ? Définitions | Triangles | Carrés | Pentagones | Et les autres ?

Introduction      Pourquoi 5 ? Pour ceux qui veulent savoir pourquoi il n'y a que cinq polyèdres réguliers convexes...   Platon La Terre, le feu, l'air, l'eau et l'Univers : les cinq polyèdres réguliers convexes...   Dual Ou quand on joint les centres des faces...     Icosaèdre On y parle de ballon de foot, d'icosaèdre tronqué et d'icosidodécaèdre. Un premier voyage au pays des solides d'Archimèdes.   Cube Quelle troncature peut donner le cube tronqué ? le cuboctaèdre ?     Live3D Applets Un lien direct sur le site de Martin Kraus, le créateur des merveilleuses classes Java qui ont rendu possible les animations de cette rubrique.

Nota Bene : La plupart des explications qui suivent sont tirées d'un article de Christian Camalon, paru dans l'excellente rubrique "Cabri dans l'espace" de la revue papier "abraCAdaBRI". Comme nous avons mis en ligne (format PDF) les numéros de ce bimestriel, vous pouvez accéder directement, à partir d'ici, à tous les articles de la rubrique Cabri dans l'espace (la plupart de ceux-ci sont aussi signés "Christian Camalon" : il s'agit du docteur ès-espace du comité de rédaction !). i Quelques définitions utiles... Convexité dans le plan Si, à l'intérieur d'une figure fermée F, on peut trouver deux points A et B tels que le segment [AB] n'est pas entièrement à l'intérieur de F, on dit que la figure F N'EST PAS convexe. Si on ne peut pas trouver de tel cas, on dit que F est convexe. Ce polygone F n'est pas convexe car on peut trouver deux points A et B tels que le segment [AB] "coupe" F : Ce polygone est convexe car on ne peut pas trouver de tels segments : Convexité des polyèdres Si, à l'intérieur d'un polyèdre P, on peut trouver deux points A et B tels que le segment [AB] n'est pas entièrement à l'intérieur de P, on dit que le polyèdre P N'EST PAS convexe. Si on ne peut pas trouver de tel cas, on dit que P est convexe. Ce polyèdre n'est pas convexe : (mais c'est une applet !) Ce polyèdre est convexe : (et en plus c'est une applet !)   Polyèdres réguliers convexes On dira d'un polyèdre convexe qu'il est régulier si ses faces sont des polygones convexes réguliers identiques et si ses sommets sont constitués du même nombre de faces. Dans tout ce qui suit, nous allons essayer de comprendre pourquoi il n'en existe que 5...    i Avec des triangles équilatéraux... Commençons par les polyèdres qui sont formés par des triangles équilatéraux. Munissez vous, pour cela, de plusieurs triangles équilatéraux identiques, en carton, que vous collerez (à l'intérieur) à l'aide d'un ruban adhésif ou d'une bandelette de papier imbibée de colle, pour tenter de former le sommet d'un polyèdre. Il est clair qu'il faut au minimum trois faces (essayez-donc de faire un sommet avec une face ou deux faces seulement et vous verrez bien !), et de plus, il est nécessaire que la somme des angles au sommet de ces faces soit strictement inférieure à 360° (sinon "ces faces" seraient coplanaires, ou bien se chevaucheraient). Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe On peut ainsi assembler trois, ou quatre, ou cinq triangles équilatéraux pour former un sommet de polyèdre, et c'est tout (car n x 60° > 360° dés que n > 6). Si on achève, dans chaque cas, la construction du polyèdre régulier (n'oublions pas que chaque sommet d'un polyèdre régulier doit recevoir le même nombre de faces), on obtient respectivement : le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre réguliers.   i Avec des carrés... Avec des carrés identiques, on peut en assembler trois pour former un sommet et on se heurte ensuite à une impossibilité avec quatre carrés ou plus (car n x 90° > 360° dés que n>4) : Live 3D Applet : glisser pour animer Maj - glisser pour la loupe   Le solide obtenu est alors l'hexaèdre régulier, plus connu sous le nom de cube.   i Avec des pentagones réguliers... De même, il ne peut exister qu'un seul polyèdre régulier formé de pentagones réguliers, chacun de ses sommets étant constitués de trois faces (car n x 108° > 360° dés que n > 4) :  Live 3D Applet e   Il s'agit du dodécaèdre régulier.   i Et les autre polygones réguliers ? Trois hexagones réguliers ayant un sommet commun et ne se chevauchant pas sont coplanaires : Live 3D Applet e   Cela interdit l'existence de polyèdres réguliers à faces hexagonales ou plus généralement ceux dont les faces sont des polygones réguliers avec n > 6. Il n'existe donc que 5 polygones réguliers.