A) Les énoncés
1°) Théorème
Soit n un nombre premier, on a
2°) Corollaire
Si, de plus, n ne divise pas a, alors :
B) Une démonstration
1°) Son principe : faire une récurrence sur a dans en utilisant le binôme de Newton et un lemme.
3°) Démonstration du théorème (par récurrence dans )
i) On vérifie que :
ii) Soit a un entier naturel non nul tel que :
Montrons que :
On a :
or : (pour tous les entiers p de ) (car lemme)
donc : (car compatibilité de la congruence avec….)
donc : (car idem)
( car hypothèse de récurrence)
4°) Remarque
Le petit théorème de Fermat est évidemment vrai dans .
Pour compléter la démonstration précédente, il faut examiner le cas où a est entier strictement négatif. Il suffit d’utiliser le reste r de la division euclidienne de a par n .
Ce qui n’est possible, en principe, que si la division euclidienne dans a été vue en cours.
On a :
Donc, puisque r est positif :
5°) Démonstration du corollaire
Celle-ci ne pose aucun problème aux élèves puisqu’elle utilise
soit, directement une propriété des congruences qui aura été vue en cours
soit le théorème de Gauss, si on souhaite revenir « aux sources » .
Dans le premier cas cela donne :
Sachant que a n’est pas un multiple de n, a est premier avec n (car n est premier).
Or : ( petit th. de Fermat)
Donc : ( car et donc est entier)
(car )
Remarque :
Le corollaire est vrai lui aussi pour a entier strictement négatif .
La démonstration ne pose aucun problème. Il suffit d’avoir défini le PGCD et énoncé le théorème de Gauss dans .
6°) Démonstration du lemme
On a n premier, donc :
Or :
Donc :
Donc : n divise (car est un entier)
Donc, d’après le théorème de Gauss :
n divise (car n est premier avec p pour tout p de )