Nouveau programme de Terminale S
Probabilités et statistique
Commentaires
Ces commentaires sont inspirés du programme
et du document d'accompagnement provisoire.
Les remarques ou questions en petits caractères sont plus personnelles.
Le temps à y consacrer
Le programme indique, à titre indicatif, la répartition horaire suivante :
- analyse : 45% (environ 14 semaines)
- géométrie : 35% (environ 11 semaines)
- probabilités et statistique : 20% (environ 6 semaines)
Une enquête s'impose sur le nombre de semaines d'enseignement en Terminale, particulièrement à la Réunion !
Il est sans doute préférable que ces 6 semaines ne soient pas consécutives...
Le conditionnement
La notation P(B/A) disparaît au profit de PA(B) , ce qui a l'avantage de bien montrer que le conditionnement porte sur la probabilité et non sur un événement. On peut aussi penser que cela diminuera le risque de confusion entre P(B/A) et P(AÇB) .
Il serait d'ailleurs préférable de lire "probabilité sachant A de B" plutôt que "probabilité de B sachant A" !
La définition théorique de PA(B) sera précédée d'études préalables portant sur deux variables statistiques (qualitatives) et s'appuyant déjà sur des arbres (arbres d'effectifs, puis arbres de fréquences) et pas uniquement sur des tableaux : on entraînera les élèves à "renverser" arbres et tableaux (dans des cas pertinents) et à passer d'une représentation aux autres ; on pourra parler de fréquence conditionnelle en introduisant la notation fA(B) pour désigner la fréquence, parmi les individus présentant le caractère A, de ceux qui présentent le caractère B.
Dans le cadre des probabilités, le programme précise qu'un arbre de probabilités correctement construit constitue une preuve et que les élèves doivent savoir appliquer sans aide la formule des probabilités totales (qui fait son retour!) dans des cas simples. Deux applications sont au programme : la problématique des tests de dépistage et la loi de Hardy-Weinberg.
Ces applications sont peu pertinentes pour les classes de Terminale S-SI !
® Document 1 : "test de dépistage"
L'indépendance
Pour deux événements A et B non impossibles, on dira que A est indépendant de B si la probabilité de A n'est pas modifiée par la réalisation de B, c'est à dire si PB(A) = P(A) . Avec cette définition, il faudra bien sûr prouver la symétrie en établissant l'équivalence des trois propositions PB(A) = P(A) , PA(B) = P(B) et P(AÇB) = P(A) ´ P(B) .
Ce sera l'occasion de faire un peu de logique.
On introduira aussi, et cela est nouveau, les deux notions suivantes :
- celle d'indépendance de deux variables aléatoires discrètes,
- celle d'expériences indépendantes.
La première notion pourra être définie formellement. Pour la seconde, selon le projet de document d'accompagnement, "dire que k expériences sont indépendantes, c'est se placer dans un modèle pour lequel la probabilité d'une liste de k résultats est le produit des probabilités de chacun d'eux" : la notion de probabilité produit n'est pas introduite formellement.
Le document d'accompagnement contiendra des réflexions à destination des professeurs sur certaines difficultés telles que : dépendance stochastique et dépendance causale, indépendance et absence de mémoire, aléatoire et échelle des observations.
® Document 2 : "coup consécutifs"
Le dénombrement
Le dénombrement ne fait clairement plus l'objet d'un chapitre à part : seules la notation factorielle, l'introduction des combinaisons et la formule du binôme sont au programme.
Les seules nouveautés sont :
- le remplacement de la notation C par qui pourra être lue "p parmi n"
- le fait que les élèves devront savoir retrouver les formules :
et
La formulation "savoir retrouver" est assez vague : on peut penser que les élèves devront être capables de donner les démonstrations ensemblistes classiques, mais certains manuels ne démontrent la deuxième propriété que par le calcul.
Les lois de probabilité discrètes
Deux lois discrètes sont au programme, la loi de Bernoulli et la loi binomiale. Les formules donnant l'espérance et la variance de la loi binomiale sont également au programme (admises, après conjecture pour la première). L'introduction de cette loi (cf. document d'accompagnement de Première L) et son utilisation dans des situations variées (cf. ancien programme de Première ES) ne devraient pas poser de problèmes (pour les professeurs!).
On pourra ensuite aborder un thème d'étude, utilisant des résultats d'analyse sur les suites et sur l'exponentielle, présenté dans le document d'accompagnement provisoire sous le titre "les événements rares ont-ils une loi?" : la convergence de la loi binomiale de moyenne a (de paramètres n et a/n) vers une loi définie sur (la loi de Poisson de paramètre a) y est observée, puis démontrée.
® Document 3 : "binomiale vers Poisson"
Les lois continues
Le document d'accompagnement présentera une introduction possible de la notion de loi continue à densité. On se limitera aux lois définies sur un intervalle de borné ou borné à gauche, c'est à dire un intervalle du type [ a , b ] ou [ a , + ¥ [ . Si quelques exercices faciles pourront être proposés pour faire fonctionner ce concept, il convient de ne pas oublier qu’il s’agit d’une toute première approche. Aucune difficulté technique ne sera soulevée. En particulier, on ne traitera que des cas menant à des calculs d’intégrales s’exprimant aisément à l’aide des fonctions étudiées en Terminale. Aucune notion d’intégrale généralisée ne sera abordée formellement : l’outil "limite à l’infini" d’une fonction est suffisant.
Deux exemple de lois continues sont au programme : la loi uniforme sur [ 0 , 1 ] et la loi de durée de vie sans vieillissement. L'étude de cette dernière s'appuiera sur le travail fait en analyse sur l'exponentielle et l'intégration et sera appliquée à la désintégration radioactive : ces questions seront précisées dans une annexe du document d'accompagnement portant sur la radioactivité et commune aux sciences physiques, aux mathématiques et aux sciences de la vie et de la Terre.
® Document 4 : "mourir sans vieillir"
Simulation et adéquation
Le programme prévoit l'étude d'un exemple traitant de l'adéquation de données expérimentales à une loi équirépartie à partir duquel "l'élève devra être capable de poser le problème de l'adéquation à une loi équirépartie et de se reporter à des résultats de simulation qu'on lui fournit".
Il est douteux que l'objectif visé puisse être atteint en traitant un seul exemple !
L'exemple développé par le document d'accompagnement provisoire vise à apporter des éléments de réponse à la question : "le dé utilisé par un joueur est-il bien équilibré?".
® Document 5 : "dé équilibré?"