Le document qui suit est issu des journées inter-académiques des 8 et 9 octobre 2001

Le texte est présenté en deux parties : l'une figure dans le B.O. n°7 du 31 août 2000 (partie commune avec le programme de 1^ère S) et l'autre dans le B.O. n°4 du 30 août 2001 (une "coquille" est corrigée dans le B.O. n°36 du 4 octobre 2001). Il conclut une évolution des programmes de collège et de lycée amorcée en sixième à la rentrée de 1996. Il prend en compte un cursus des élèves marqué par une réduction sensible des horaires cumulés de la discipline tout au long de leurs études secondaires ainsi qu’un souci légitime de développer la place des T.I.C.E., de la statistique et des activités de modélisation.

La consultation des enseignants et des associations qui a été organisée au printemps dernier, a conduit le G.E.P.S. à proposer au ministre une version nettement moins ambitieuse que celle de janvier 2001. Des approfondissements initialement envisagés (à propos des suites et de la continuité par exemple) ont été abandonnés et des sujets classiques (cinématique, produit vectoriel, réflexions et rotations dans l’espace, …) ont été finalement écartés. Plusieurs points qui figuraient antérieurement au programme de terminale S trouvent maintenant leur place en 1^ère S : fonctions sinus et cosinus, barycentres, variables aléatoires, … ; ils devront cependant être réactivés en terminale. La volonté de laisser aux élèves un temps suffisant pour les activités de recherche en classe, incluant éventuellement l’utilisation de la calculatrice ou de l’ordinateur, a visiblement été privilégiée.

Pour manifester une volonté de susciter une réflexion sur la nature des mathématiques, les rédacteurs ont clairement mis en évidence quelques démonstrations substantielles en les faisant figurer explicitement au programme. Le statut des énoncés et leur importance relative seront soulignés par l'emploi d'un vocabulaire classique mais souvent abandonné par des manuels récents : lemme, proposition, théorème, corollaire, … Des concepts intuitifs sont librement utilisés sans définition précise : limite d’une fonction en un point, aire, … On note l’apparition de « règles opératoires », c’est à dire de propriétés dont on n’est pas tenu de justifier l’usage dans une démonstration ou dans un calcul. Elles devraient apporter de la souplesse dans la rédaction sans en compromettre gravement la rigueur.

Plusieurs points du programme (équations différentielles, probabilités et statistiques, …) impliqueront une fructueuse concertation avec les professeurs de physique et de S.V.T. Ce travail d'équipe est également indispensable avec les autres professeurs de mathématiques car la prise en compte des acquis des classes précédentes et, en particulier, une bonne articulation avec la 1^ère S, sont rendues nécessaires par des sujets comme, par exemple, la statistique ou l'introduction de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler.

Des rappels sont plusieurs fois mentionnés (limites, dérivation, produit scalaire dans le plan, …) ; ils ne devraient pas engendrer des chapitres entiers de révisions.

D'autre part, il n'est volontairement pas fait mention de "capacités attendues" ni de "compétences exigibles" dans ce programme ; cela aurait eu, vraisemblablement, un effet trop réducteur sur son enseignement. La disparition des travaux pratiques, regrettée par certains, doit être compensée par les indications figurant dans la colonne centrale " modalités de mise en œuvre".

Limites de suites et de fonctions

- La définition de la limite d'une suite (donnée en première) et son extension à la limite finie ou infinie d'une fonction en + ¥ ou - ¥ permettent d'effectuer quelques démonstrations :

- toute suite croissante non majorée tend vers + ¥ ;

- théorème des gendarmes lorsque la variable tend vers l'infini ;

- …

- On note le statut de "règle opératoire" des résultats concernant les limites de somme, produit, quotient de deux fonctions ou de deux suites ainsi que la limite de la composée de deux fonctions ou de la composée d'une suite et d'une fonction.

- La propriété de compatibilité du passage à la limite avec l'ordre, présente explicitement dans les anciens programmes, n'est pas écartée. Elle devrait faire l'objet de précisions dans le document d'accompagnement.

Langage de la continuité et tableau de variations

- Il est bien précisé que l'étude théorique de la continuité des fonctions classiques est exclue. C'est le "langage de la continuité" qui est visé avant tout.

- Les conventions relatives aux tableaux de variation, détaillées dans le document d'accompagnement de 1^ère , figurent ici clairement dans le texte du programme.

- Les versions proposées du théorème "des valeurs intermédiaires", de son corollaire pour les fonctions strictement monotones et des extensions de ce dernier à des intervalles quelconques, devraient apporter une souplesse accrue et donc un gain de temps par rapport au programme actuel.

- Les fonctions construites à partir des fonctions polynômes, trigonométriques, logarithmes ou exponentielles sont celles qu'on obtient, à partir de ces dernières, par addition, multiplication, division ou composition.

Dérivation

- On note l'apparition de l'écriture différentielle "dy = f(x) dx", et ce qu'elle permet de retenir ou de mettre en valeur (dérivée d'une fonction composée, grandeurs et dérivation, …).

- Le nouveau programme ne fait pas mention des dérivées d'ordre strictement supérieur à 2 ni des notations df /dx et d²f /dx² ; ces dernières sont cependant encore largement utilisées en physique.

- La principale disparition dans ce paragraphe est celle de l'inégalité des accroissements finis et donc d'une grande partie du champ de problèmes concernant les méthodes de point fixe qui étaient proposés au baccalauréat. L'étude de certains de ces problèmes reste cependant possible (via l'inégalité de la moyenne vue par ailleurs).

Introduction de la fonction exponentielle

- Elle devra être effectuée très tôt dans l'année. Une articulation avec le cours de physique sur la radioactivité est souhaitable. L'étude de l'équation différentielle y' = ky nécessitera la mise en œuvre de la méthode d'Euler déjà rencontrée en 1^ère S. Une sensibilisation des professeurs de 1^ère S à l'importance de ce point du programme est nécessaire.

- Un travail de caractérisation est à effectuer à propos de la relation fonctionnelle.

- La nouveauté de ce paragraphe est largement développée dans le document d'accompagnement.

- La notation "exp" pourra éventuellement être employée, au moins de façon temporaire.

Etude des fonctions logarithmes et exponentielles

- Ici encore, un travail de caractérisation du logarithme népérien, à partir de l'équation (ou relation) fonctionnelle, est demandé.

- L'étude générale des fonctions x # x^a pour a réel, cède sa place à celle des fonctions x # a^x (a étant un réel strictement positif) et de leur comportement asymptotique. L'étude, dans des problèmes, d'exemples de fonctions du premier type n'est cependant pas exclue et la fonction racine n-ième reste au programme.

- Une étude particulière des fonctions x # e^-kx ou x # e^-kx² , k étant un réel strictement positif, est demandée en raison de l'importance des situations qu'elles permettent de modéliser.

- Le rapport entre le logarithme décimal et l'écriture décimale des réels devra être mentionné (cela ne figurait pas explicitement dans les anciens programmes mais la grande majorité des professeurs en disait un mot).

- Un travail de positionnement, sur grapheur, des courbes représentatives de ln, de x # e^x et des fonctions puissances entières devra être effectué.

- Afin de tenir compte de la disparition de l'étude générale des fonctions x # x^a pour a réel, les règles de croissance comparée ne sont plus les mêmes. Le travail demandé est aussi plus directif : on établira la limite en + ¥ de e^x/x et de ln x /x on en déduira la limite en - ¥ de x # xe^x.

En revanche, les élèves pourront ensuite employer les règles opératoires "à l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x" et "les puissances de x l'emportent sur le logarithme de x". Ces règles seront étendues, à travers des exemples, aux cas où x est remplacé par un polynôme quelconque.

Suites et récurrence

- Le principe de récurrence est maintenant explicitement présenté comme un axiome.

- Le vocabulaire "suite monotone, majorée, minorée, bornée" et le raisonnement par récurrence sont introduits à travers l'étude d'exemples.

- En liaison avec le paragraphe précédent, on note la disparition de ce qui concerne l'étude des suites du type (n^a) où a est un réel non entier, dans le cas général.

- Les suites adjacentes sont introduites en liaison avec l’existence de la fonction exponentielle ou avec le calcul intégral. Le théorème des suites adjacentes est énoncé.

- On note le retour du théorème de convergence des suites croissantes majorées (et corrélativement du résultat concernant les suites décroissantes minorées).

- L'étude de suites u_n+1 = f(u_n) pour approcher une solution de l'équation f(x) = x n'est plus un objectif du programme. En revanche, on devra traiter quelques problèmes menant à l'étude de suites définies par u_n+1 = a u_n + b.

- Bien qu'aucune notion théorique de rapidité de convergence d'une suite ne soit au programme, une étude numérique et sur tableur de un ou deux exemples est demandée.

Intégration

- Pour f continue et positive sur[a,b], est introduite comme étant l'aire sous la courbe. Puis la définition est étendue au cas d'une fonction de signe quelconque.

Un lien avec les suites adjacentes est illustré par les cas des fonctions en escalier et de la parabole.

Cette nouvelle introduction des intégrales est largement développée dans le document d'accompagnement.

- Linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles, inégalité de la moyenne sont rapidement commentées et admises puis utilisées comme règles opératoires.

- Outre l'application des intégrales aux calculs de volumes déjà présente dans les anciens programmes, il est demandé explicitement d'illustrer leur intérêt par le calcul de la distance parcourue sur une droite par un point mobile dont on connaît la vitesse instantanée et par des calculs de probabilités d'intervalles pour des lois de probabilités à densité.

- En lien avec la physique, le problème des unités pour les intégrales devra être abordé.

Les exemples de calculs de valeurs approchées d'intégrales et d'encadrement d'une intégrale au moyen d'un encadrement de la fonction à intégrer, proposés antérieurement en travaux pratiques, ne disparaissent pas. Les outils disponibles sont suffisants pour les aborder.

Intégration et dérivation

- Le fait que soit une primitive de f lorsque f est continue et croissante sera démontré ; il sera admis dans le cas où f est seulement continue. On justifie ainsi l'existence d'une solution pour l'équation différentielle y' = f(t) vue en 1^ère , l'existence du logarithme népérien et enfin celle de la fonction exponentielle comme réciproque du logarithme népérien.

- L'intégration par parties reste limitée à des cas simples mais l'élève aura à trouver lui-même le recours à cette technique. Son emploi ne relève pas des règles opératoires.

Équations différentielles y' = ay + b

- Ce paragraphe est entièrement nouveau : il est développé dans le document d'accompagnement notamment pour les liens avec la physique.

Autres points

- Les fonctions sinus et cosinus sont maintenant vues en 1^ère . La fonction tangente reste au programme de terminale.

- Les équations différentielles du type y'' + w²y = 0 ne sont plus étudiées systématiquement en mathématiques. Des solutions sont vues en physique. Le professeur de mathématiques pourra éventuellement en dire un mot.

Géométrie plane : nombres complexes

- La vision des nombres complexes est d'abord géométrique (le titre du paragraphe est éloquent sur ce point). L'accent est mis sur l'utilisation des nombres complexes pour traiter des exemples simples de configuration et résoudre des problèmes faisant intervenir des transformations.

- Dans cette optique, on note l'apparition de l'interprétation géométrique de z # z’ avec

z’ – w = k(z – w).avec k réel non nul ou z’ – w = eⁱ^q (z – w).

- On ne voit plus figurer explicitement dans le programme la formule donnant l'affixe du barycentre, l'inégalité triangulaire, les formules dites de Moivre et d'Euler et les liens qui en découlent avec la trigonométrie (hormis les formules d'addition et de duplication) : les contenus correspondants sont cependant accessibles aux élèves avec les différents outils dont ils disposent.

Produit scalaire dans l'espace

- Différentes méthodes sont envisageables pour étendre à l'espace le produit scalaire du plan. Les problèmes théoriques sous-jacents n'ont pas à être détaillés devant les.

- On notera que la définition des projections orthogonales n'a pas nécessairement été donnée dans les classes précédentes.

- Les propriétés du produit scalaire dans l'espace et l'expression, en repère orthonormal, de la distance d'un point à une droite dans le plan ou à un plan dans l'espace ne doivent pas être considérées comme des nouveautés car elles étaient déjà largement présentes dans les pratiques antérieures.

- L'absence, dans la rédaction du nouveau programme, de la caractérisation vectorielle de l'orthogonalité de deux droites ou d'une droite et d'un plan ainsi que de la notion de vecteur normal à un plan est plus une question de forme que de fond.

- La présence de l'inéquation définissant un demi-espace est une petite nouveauté. La disparition de la notion de plans perpendiculaires est bien réelle.

Droites et plans dans l'espace

- La caractérisation barycentrique d'une droite, d'un plan, d'un segment, d'un triangle peut être considérée comme nouvelle.

- Ce qui concerne les discussions géométrique et algébrique de l'intersection de deux plans, d'une droite et d'un plan, de trois plans, de même que la représentation d'une droite de l'espace par un système de deux équations linéaires, relevait de la rubrique "Equations, systèmes d'équations linéaires" dans les anciens programmes.

Aucune méthode n'est imposée (ni interdite) pour la résolution algébrique des systèmes d'équations linéaires.

- La disparition des représentations paramétriques d'une droite du plan n'en est pas réellement une puisque la question reste abordée dans l'espace.

Autres points

-L'étude du produit vectoriel disparaît.

- Il en est de même pour les exemples de courbes paramétrées du plan.

- Les élèves rencontreront les ellipses dans le cours de physique. A cette occasion, le professeur de

mathématiques pourra éventuellement en dire un mot.

Conditionnement et indépendance

- On note l'apparition de l'indépendance de deux variables aléatoires et le retour de la formule des probabilités totales (mais les élèves devront savoir appliquer cette dernière sans aide).

- Les applications aux tests de dépistage et à la loi de l'équilibre génétique lors d'appariements au hasard seront aussi accessibles aux élèves ayant choisi la voie "sciences de l'ingénieur" malgré l'absence d'un professeur de SVT pour apporter un éclairage spécifique. Voir le document d'accompagnement.

- On remarquera que la définition de l'indépendance est liée plus nettement à celle du conditionnement.

- Il est clairement affirmé qu'un arbre de probabilité correctement construit constitue une preuve.

Statistique et modélisation

- La nouveauté est ici la notion d'expériences indépendantes et de répétition de telles expériences lorsqu'elles sont, de plus, identiques.

Lois de probabilité

- La notation disparaît. Seule subsiste.

- se lit « p parmi n ».

- L’élève devra savoir retrouver les formules :

- La formule du binôme peut être présentée dans C.

- Quatre lois de probabilité sont introduites : deux lois discrètes avec leur espérance et leur variance (la loi de Bernoulli et la loi binomiale) et deux lois continues (la loi uniforme sur [0,1] et la loi de durée de vie sans vieillissement). La présentation, en application, de la loi exponentielle de désintégration des noyaux, nécessitera des précisions dans le document d'accompagnement.

Statistique et simulation

- Ce paragraphe, entièrement nouveau est largement développé dans le document d'accompagnement.

Autres points

- La place réduite des dénombrements est réaffirmée. Il n'est plus question d'arrangements ni de permutations mais la notation n! devra être introduite.

- Le calcul de probabilités occupera une place moins importante.

- On note la disparition de la notion de fonction de répartition d'une variable aléatoire.

Ce paragraphe a pour objet d’attirer l’attention sur quelques points liés à la première S ou à la terminale S et qui peuvent avoir des répercussions sur les progressions de ces deux niveaux.

Les remarques qui suivent sont citées dans l'ordre du programme de première S.

· Repérage polaire dans le plan : Il apparaît en première. Il constitue une bonne introduction au module et à l'argument d'un nombre complexe. Le programme de terminale souligne d'ailleurs cette continuité en indiquant "qu'on retrouvera à cette occasion la notion de coordonnées polaires".

· Repérage cartésien dans l'espace : Il apparaît en première et permet de donner, dans des cas particuliers, des équations de quelques objets : plans, sphères, cylindres et cônes. Ces considérations se poursuivent en terminale mais, plus particulièrement, dans l'enseignement de spécialité. Pour les élèves qui ne suivent que l'enseignement obligatoire, on pourrait conseiller de mettre à profit la représentation paramétrique d'une droite de l'espace pour revenir sur les objets rencontrés en première, à l'occasion de recherche d'intersections. Ce serait l'occasion de manipuler simultanément des équations cartésiennes et des représentations paramétriques.

· Transformations : Le travail sur les transformations, réactivé en première avec l'introduction des translations et des homothéties dans le plan et dans l'espace, se poursuit en terminale, sous l'angle des complexes. Cette continuité est moins nette pour les rotations qui n'ont pas fait l'objet d’une étude particulière en première et qui gardent le statut qu'elles avaient au collège. En terminale, à l'occasion de l'étude des nombres complexes, on sera conduit à donner à la rotation un statut plus précis, en liaison avec les angles orientés rencontrés en première. On notera également que les symétries par rapport à une droite gardent le statut qu'elles avaient au collège; ce qui ne pose pas de problème majeur.

· Lieux géométriques : Ils constituent, en première, une sorte de fil directeur de la géométrie et permettent de mettre en oeuvre, sans faire l'objet d'un chapitre indépendant, des méthodes de recherche nombreuses. Ce thème n'est pas repris en terminale et ne constituera donc pas le ressort principal de l'épreuve au baccalauréat. Il peut être utile, notamment pour poursuivre la familiarisation avec les problèmes par analyse/synthèse, de continuer à proposer aux élèves de terminale quelques recherches de lieux géométriques.

· Au sujet de la dérivation : L'introduction de l'exponentielle (et la résolution de l'équation y' = ay + b) sont bien préparées, en première, par l'approximation d'une courbe intégrale définie par y' = f(t) et y(t₀) = y₀. Il convient toutefois d'alerter les professeurs de première sur l'importance de ce court alinéa qu’il ne faudrait pas sous-estimer. Une partie de la réussite de l'introduction précoce de l'exponentielle en terminale repose sur le travail mené en première autour de la méthode d'Euler.

· Suites et fonctions : Elles font l'objet de paragraphes séparés en première. En terminale, des compléments communs sont proposés dans le paragraphe "limites de suites et de fonctions".

En première comme en terminale, on perçoit des niveaux d'approfondissement différents selon le sujet. Ainsi, en première, la notion de limite infinie d'une suite est intuitive alors que la convergence d'une suite fait l'objet d'une définition. De même, en terminale, la limite d'une fonction à l'infini fait l'objet d'une définition, dans le prolongement de celle de la convergence d'une suite adoptée en première et rappelée en terminale, tandis que la limite d'une fonction en un réel a est plus intuitive.

Comme pour les classes des niveaux précédents, les TICE s’inscrivent de manière naturelle dans les programmes de la série S et trouvent leur place dans chaque chapitre.

Il est en particulier rappelé que les mathématiques sont un outil de modélisation et de calcul.

Les élèves qui suivront le programme de terminale ont grandi dans un environnement technologique.

L’impact sur la pédagogie des mathématiques est considérable, compte tenu des outils informatiques et des calculatrices existantes.

L’utilisation des TICE (au sens large) offre diverses possibilités suivant les objets d’apprentissage :

· Outil de conjecture : l’élève peut émettre des hypothèses, faire des essais pour proposer une solution qui sera ensuite démontrée (par exemple, en géométrie).

· Outil de calcul : les obstacles calculatoires lors de la résolution d’une question de mathématiques peuvent être levés et l’élève peut alors se centrer sur l’objet d’apprentissage qui est en jeu.

· Outil de vérification : l’élève peut gagner en autonomie si la calculatrice (par exemple) lui donne la confirmation d’un résultat qu’il a obtenu et justifié.

Plusieurs stratégies d’utilisation des TICE sont possibles et trouvent leur pertinence suivant la nature de la séquence d’enseignement :

L’utilisation d’une calculatrice est permanente, individuelle et facile. La calculatrice trouve sa place dans de nombreuses occasions puisqu’elle est, pour l’élève, à la fois un outil de calcul, de vérification et de conjecture

L’ordinateur est utilisé soit dans une salle informatique, soit dans la classe.

Dans une salle informatique, les élèves travailleront seuls ou en groupe pour, par exemple, rechercher des exercices s’insérant dans une progression construite par l’enseignant, ce qui ne doit pas occulter l’usage de « papier-crayon » qui seul garantit un travail organisé autour de l’ordinateur.

En classe, l’ordinateur sera une aide pour l’enseignant pour visualiser une figure, une courbe ou un tableau de valeurs par exemple. Il permet de montrer des figures ou des courbes plus précises et de meilleurs qualité, des tableaux plus complets ….

Les professeurs de mathématiques ont pour mission d’intégrer les TICE dans leur enseignement, en les utilisant de manière raisonnée. Ils ne peuvent les utiliser tout le temps. Ils doivent savoir dans quelles circonstances la calculatrice ou l’ordinateur sont des outils pertinents et pourquoi, dans une séquence donnée, les TICE représentent un apport pédagogique substantiel.

Des documents seront mis à la disposition des enseignants, comme aide pour construire des séquences appropriées.