Partie
I :
L’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ EN TERMINALE S ET
LES PROGRAMMES ANTÉRIEURS
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I) ARITHMÉTIQUE
a) Troisième
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Contenus
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Compétences
exigibles
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Commentaires
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Nombres entiers et rationnels
Diviseurs
communs à deux entiers
Fractions irréductibles
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Déterminer si
deux entiers donnés sont premiers entre eux
Savoir
qu’une fraction est dite irréductible si son dénominateur et son numérateur
sont premiers entre eux
Simplifier une
fraction donnée pour la rendre irréductible
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Cette partie
d’arithmétique permet une première synthèse sur les nombres, intéressante
tant du point de vue de l’histoire des mathématiques que pour la
culture générale des élèves.
Depuis la
classe de cinquième, les élèves ont pris l’habitude de simplifier
les écritures fractionnaires : la factorisation du numérateur et
du dénominateur se fait grâce aux critères de divisibilité et à la
pratique du calcul mental. Reste à savoir si la fraction obtenue est
irréductible ou non. On remarque que la somme et la différence de deux
multiples d’un nombre entier sont eux-mêmes multiples de cet entier.
On construit alors un algorithme, celui d’Euclide ou un autre, qui,
donnant le PGCD de deux nombres entiers, permet de répondre à la
question dans tous les cas. Les activités proposées ne nécessitent
donc pas de recours aux nombres premiers. Les tableurs et les logiciels
de calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploités avec profit.
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En sixième et au
cycle central, les élèves ont donc eu l’occasion de simplifier des écritures
fractionnaires en utilisant les critères de divisibilité ou la décomposition
en produit de facteurs. De plus ils ont travaillé sur la notion de multiple
et de diviseur d’un entier naturel.
En classe de troisième,
pour rendre une fraction irréductible, il est nécessaire de savoir si deux
nombres sont premiers entre eux. Pour l’obtention du PGCD de deux entiers,
le programme préconise l’algorithme d’Euclide ou un autre qui peut être
l’algorithme des différences. A aucun moment, au collège on ne peut
recourir à la décomposition en produit de facteurs premiers qui est au
programme de seconde.
b) Seconde
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Contenus
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Capacités
attendues
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Commentaires
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Nature et écriture
des nombres
Nombres
premiers |
Décomposer un
entier en produit de nombres premiers.
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On
se limitera à des exemples (du type 56×67) pour lesquels la
connaissance des tables de multiplication suffit.
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Dans le document d’accompagnement du programme de
seconde on peut lire : la définition de nombre premier permet une
nouvelle approche du travail effectué au collège sur les nombres entiers en
même temps qu’elle prépare la partie arithmétique des programmes ultérieurs
et entretient des qualités indispensables de calcul (calcul mental,
manipulation des puissances et des fractions). Il s’agit simplement de se
familiariser avec la décomposition en facteurs premiers et il est demandé de
se limiter à des exemples simples ; aucun théorème général
d’existence ou d’unicité n’est exigé : on pourra l’évoquer sur
des petits nombres et justifier ainsi la convention excluant 1 de l’ensemble
des nombres premiers.
c) Terminale S, enseignement de spécialité
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Contenus
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Modalités
de mise en oeuvre
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Commentaires
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Divisibilité dans Z
Division euclidienne, algorithme d’Euclide pour
le calcul du PGCD.
Congruences dans Z.
Entiers premiers entre eux.
Nombres premiers ; existence et unicité de la
décomposition en produit de facteurs premiers ;
PPCM.
Théorème de Bézout.
Théorème de Gauss.
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On fera la synthèse des connaissances acquises
dans ce domaine au collège et en classe de seconde.
On étudiera quelques algorithmes simples et on les
mettra en œuvre sur calculatrice ou tableur : recherche d’un
PGCD, décomposition d’un entier en facteurs premiers, reconnaissance
de la primalité d’un nombre entier.
On démontrera que l’ensemble des nombres
premiers est infini.
Sur des exemples simples, obtention et utilisation
de critères de divisibilité. Exemples simples d’équations
diophantiennes.
Applications élémentaires au codage et à la
cryptographie.
Application : petit théorème de Fermat
|
On montrera l’efficacité du langage des
congruences.
On utilisera les notations a º
b(n) ou a º
b modulo n et on établira les compatibilités avec l’addition et la
multiplication. Toute introduction de Z/nZ
est exclue.
L’arithmétique est un domaine avec lequel
l’informatique interagit fortement ; on veillera à équilibrer
l’usage de divers moyens de calculs : à la main, à l’aide
d’un tableur ou d’une calculatrice.
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On peut lire dans le programme : l’arithmétique
est un lieu naturel de sensibilisation à l’algorithmique où la nécessité
d’être précis impose rigueur et clarté du raisonnement.
REMARQUES
Le précédent
programme de spécialité incitait beaucoup à aborder l’arithmétique sous
l’angle algorithmique et non pas sous l’angle des structures algébriques,
comme certains programmes de Terminale C. C’est toujours clairement la démarche
à privilégier
Ce programme offre
aux élèves la possibilité d’effectuer une synthèse sur ce qu’ils ont
vu précédemment à propos des entiers, certains des résultats qu’ils ont
utilisés sur des exemples en les admettant implicitement sont maintenant
formalisés voire démontrés. Se pose la question de ce qu’il est
souhaitable de démontrer ou non dans ce programme :
• il semble
essentiel, en s’appuyant sur une propriété équivalente à l’axiome d’Archimède,
de justifier la division euclidienne dans N (existence et unicité du
quotient et du reste), la divisibilité dans Z et la division euclidienne
dans N suffisent pour introduire et manipuler les congruences.
• en
revanche, il ne semble pas essentiel de donner une preuve de l’unicité de
la décomposition en produit de facteurs premiers (dont l’existence est
acquise à partir du théorème de Gauss) ; cette décomposition est vue
en seconde sur des exemples et sans aucun exposé théorique.
• l’algorithme
d’Euclide, vu en troisième et en général non justifié à ce niveau
(c’est plutôt l’algorithme des différences qui fait l’objet, en troisième,
d’une justification, lorsqu’il y en a une), découle naturellement de la
division euclidienne et permet une démonstration du théorème de Bézout.
La congruence
modulo n est une nouveauté, à la fois par rapport aux contenus des
programmes antérieurs mais aussi par rapport à l’ancien programme où elle
était citée sans aucune insistance dans les travaux pratiques. Cet outil
puissant doit être manié avec précaution : il ne faut sûrement pas
l’introduire trop tôt et se garder de tout développement algébrique.
Le
PPCM est une nouveauté pour les élèves mais il figurait dans l’ancien
programme, il en est de même pour le théorème de Bézout et celui de Gauss.
Une application qui ne figurait pas dans l’ancien programme concerne le
petit théorème de Fermat, qui paraît ambitieux si l’on en croit la
consultation effectuée l’année dernière auprès des enseignants. On doit
considérer que ce théorème fait partie du programme et son identification
comme une application rend indispensable sa démonstration.
En terminale S ;
il est indispensable de dégager et d’identifier les différents types de
raisonnement qui doivent être connus des élèves. Pour les élèves suivant
la spécialité mathématiques, l’arithmétique semble un champ idéal pour
repérer, décrire et pratiquer ces différents types : raisonnement par
récurrence, par disjonction des cas, par l’absurde, par conditions nécessaires.
Une attention particulière doit être portée au raisonnement par récurrence
qui est découvert en classe de première S. En classe de spécialité mathématiques
de terminale S, il convient d’exiger des raisonnements par récurrence
complets et bien formalisés.
II) SIMILITUDES
PLANES
Collège
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Sixième
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Cinquième
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Quatrième
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Troisième
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Dans le plan, transformation de figures par symétrie
axiale : construction d’images, construction de figures simples
ayant un axe de symétrie, énoncé de propriétés.
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Dans le plan, transformation de figures par symétrie
centrale ; construction d’images et mise en évidence de
conservation.
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Translation ; construction d’images, mise en
évidence de quelques propriétés de conservation.
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Polygones réguliers.
Transformation de figures par rotation ; mise
en évidence de quelques propriétés (conservation des longueurs, des
alignements, des angles, des aires) composition de symétries centrales
ou de translations.
Propriété de Thalès.
Effet d’un agrandissement ou d’une réduction
sur les aires et les volumes.
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Les commentaires précisent que les transformations vues
au collège n’ont à aucun moment à être considérées comme des
applications du plan dans lui-même, mais seulement à travers leur action sur
les figures du plan.
A noter que la rotation est vue en troisième dans le
plan non orienté.
Seconde
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Contenus
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Capacités
attendues
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Commentaires
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Les configurations du plan
Triangles isométriques, triangles de même forme
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Utiliser, pour résoudre des problèmes, les
configurations et les transformations étudiées au collège, en
argumentant à l’aide des propriétés identifiées.
Reconnaître des triangles isométriques. Reconnaître
des triangles de même forme.
Résoudre des problèmes mettant en jeu formes et
aires.
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Les problèmes seront choisis de manière
-à inciter à la diversité des points de vue dans
un cadre théorique volontairement limité,
-à poursuivre l’apprentissage d’une démarche
déductive,
-à conduire vers la maîtrise d’un vocabulaire
logique adapté
(…)
On pourra utiliser la définition suivante :
deux triangles ont la même forme si les angles de l’un sont égaux
aux angles de l’autre (il s’agit donc de triangles semblables). On
caractérisera ensuite, grâce au théorème de Thalès, deux triangles
de même forme par l’existence d’un coefficient d’agrandissement-réduction.
Rapport entre les aires de deux triangles de même forme.
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On peut lire dans le document d’accompagnement du
programme :
Il est à noter que la définition des triangles de même
forme (ou semblables) conseillée par le programme répond au souci de
s’appuyer sur la perception. Le passage à la caractérisation de deux
triangles semblables à l’aide d’un coefficient d’agrandissement-réduction,
que l’on appellera rapport de
similitude, pourra s’appuyer sur l’étude des triangles isométriques
et les propriétés de Thalès étudiées en troisième.
A propos des triangles isométriques, il est dit que la définition
qui s’inscrit le plus naturellement dans le fil des programmes de collège,
où l’on a construit des images de figures géométriques par symétries
axiale ou centrale, par translation ou par rotation, pourrait s’énoncer
ainsi : « deux triangles sont isométriques si l’un est l’image
de l’autre par une translation, une symétrie axiale, une rotation ou une
succession de telles transformations ».
Il est aussi rappelé que la définition générale
d’une isométrie n’est pas un acquis du collège et qu’elle n’est en
aucun cas un objectif de la classe de seconde
Première S
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Contenus
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Modalités
de mise en oeuvre
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Commentaires
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Transformations :
Translations et homothéties dans le plan et
l’espace : définitions, image d’un couple de points ;
effet sur l’alignement, le barycentre, les angles orientés les
longueurs, les aires et les volumes ; image d’une figure
(segment, droite, cercle)
|
Toutes les transformations connues seront utilisées
dans l’étude des configurations, pour la détermination de lieux géométriques
et dans la recherche de problèmes de construction, en particulier au
travers des logiciels de géométrie.
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Les transformations planes abordées en collège
(translation, symétrie axiale, rotation) n’ont pas à faire l’objet
d’un chapitre particulier).
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On peut lire dans le document d’accompagnement du
programme :
Il est à noter qu’aucune transformation nouvelle n’a
été introduite en seconde : les élèves y ont utilisé leurs seuls
acquis du collège sur les translations, symétries et rotations dans le plan ;
ces transformations étaient perçues avant tout comme agissant sur des
figures et non comme des applications ponctuelles du plan sur lui-même.
Le programme demande que les transformations (y compris
toutes celles utilisées auparavant) soient mises en œuvre, en particulier
dans la recherche de lieux géométriques.
REMARQUE :
Le programme de
Première va donc moins loin que le précédent sur les transformations
puisqu’on y étudiait notamment la rotation du plan orienté, la composition
de deux translations, de deux rotations de même centre, de deux homothéties
de même centre, de deux réflexions ainsi que la transformation réciproque
d’une translation, d’une réflexion, d’une rotation, d’une homothétie…
Terminale S,
enseignement de spécialité
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Contenus
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Modalités
de mise en oeuvre
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Commentaires
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Définition géométrique. Cas des isométries.
Caractérisation complexe : toute similitude a
une écriture complexe de la forme z
#
az + b
ou
z #
aß
+ b (a non nul)
Étude des similitudes directes
|
Les similitudes seront introduites comme
transformations du plan conservant les rapports de distances. On fera
remarquer que la réciproque d’une similitude est une similitude, que
la composée de deux similitudes est une similitude et que, dans le cas
général, la composition n’est pas commutative.
On démontrera qu’une similitude ayant deux
points fixes distincts est l’identité ou une symétrie axiale.
Forme réduite d’une similitude directe.
On démontrera la propriété suivante : étant
donnés quatre points A, B, A’, B’ tels que A¹B
et A’¹B’,
il existe une unique similitude directe transformant A en A’ et B en
B’.
Applications géométriques des similitudes à l’étude
de configurations, la recherche de lieux et la résolution de problèmes
de construction.
|
La définition générale sera illustrée d’une
part avec les transformations étudiées antérieurement, d’autre part
avec les transformations d’écriture complexe
z #
az + b
ou z #
aß
+ b ; ces dernières seront amenées progressivement à
travers des exemples.
La caractérisation complexe est un moyen simple
d’établir la plupart des propriétés.
La recherche des éléments caractérisant une
similitude indirecte est hors programme.
On fera le lien avec les triangles semblables ou
isométriques introduits en classe de seconde.
|
REMARQUES :
Dans les modalités
de mise en œuvre, on peut lire « on fera remarquer que la réciproque
d’une similitude est une similitude, que la composée de deux similitudes
est une similitude », or en première on peut lire « on soulignera
le caractère bijectif des homothéties et des translations, lors de cette
première rencontre de la notion de bijection, on gardera une approche
intuitive : aucune définition formelle n’est demandée ». Le
lien doit être fait, lors de l’étude des similitudes avec les points de
vue développés en analyse sur la notion de bijection et d’application réciproque.
Il est à noter que
dans l’ancien programme un paragraphe spécifique était consacré aux isométries
fixant un point O, et aux déplacements et antidéplacements ce qui n’est
plus le cas maintenant. Dans le nouveau programme, la définition géométrique
d’une similitude ainsi que l’étude en seconde des triangles semblables
doivent inciter à garder le plus possible un point de vue géométrique :
le recours aux nombres complexes établit une continuité avec le programme du
tronc commun et est une facilité pour les démonstrations mais ne doit pas être
considéré comme le signe d’une approche exclusive.
Le précédent programme de spécialité
mettait beaucoup l'accent sur les composées de transformations :
•
similitudes directes fixant un point O introduites comme composée
d'une homothétie de centre O et d'une rotation de centre O.
• décomposition
d'une rotation et d'une translation en produit de symétries axiales
• composée
de translations et de rotations
• composées
de translations et de symétries axiales.
• composées
d'homothéties et de translations.
Ainsi les élèves
disposaient d'un inventaire des déplacements plans.
Le nouveau
programme délaisse ce point de vue, en ce sens qu’il n’est pas prévu de
faire une étude systématique de la composition de deux transformations ni de
la décomposition d’une similitude indirecte. En revanche, les problèmes de
composition se posent naturellement dans les exercices sans nécessiter un
arsenal théorique important.
Le programme
mettant en avant comme cas particulier l’étude des isométries, se pose la
question du degré d’approfondissement de cette étude dans la mesure où
les pré requis des élèves dans ce domaine se limitent à ce qu’ils ont vu
au collège : en particulier la rotation a été vue dans le plan non
orienté. Compte tenu de l’horaire, il est hors de question de se lancer
dans une étude systématique. Les isométries seront vraiment considérées
comme des cas particuliers.
III)
SECTIONS PLANES DE SURFACES
a) Collège
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Cinquième
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Quatrième
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Troisième
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Cylindres de révolution : fabriquer un
cylindre de révolution dont la base est un cercle de rayon donné ;
représenter à main levée ce solide. L’utilisation d’outils
informatiques peut se révéler utile pour une meilleure visualisation
des différentes représentations d’un objet.
|
Cône de révolution : calculer le volume
d’un cône de révolution ; L’objectif est toujours
d’apprendre à voir dans l’espace et de calculer des longueurs, des
aires et de volumes, ce qui implique un large usage des représentations
en perspective et la fabrication de patrons.
|
Problèmes de sections planes de solides :
connaître la nature des
sections du cylindre de révolution par un plan
parallèle
ou perpendiculaire à son axe ; représenter
et déterminer
les
sections d’un cône de révolution par un plan parallèle à la base.
|
b) Seconde et première S
|
Seconde
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Première S
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- On peut lire dans le document d’accompagnement
que l’étude d’éléments de solides puis de sections planes de ces
solides amène à dégager quelques énoncés concernant les positions
relatives de droites et de plans de l’espace (règles usuelles dites
d’incidence qui seront admises).
- À propos des thèmes du programme, citons
notamment : représenter en perspective cavalière et en vraie
grandeur une section plane d’un solide de référence dans des cas
simples, reconstitution d’un objet à partir d’une suite de coupes
parallèles, …
-Fonctions de référence : établir le sens
de variation et représenter graphiquement la fonctions x #
Æ
|
Sections planes d’un cube, d’un tétraèdre.
Commentaires : On utilisera les règles
d’incidence vues en classe de seconde pour justifier les constructions
des différentes sections planes possibles. Ce travail, en consolidant
la perception de l’espace, facilitera l’introduction du repérage
cartésien.
Repérage cartésien dans l’espace. En
particulier, équation de quelques objets de l’espace : (…), cône
de sommet l’origine et cylindre, chacun ayant pour axe un axe du repère.
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c) Terminale S,
enseignement de spécialité
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Contenus
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Modalités
de mise en oeuvre
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Commentaires
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Sections
planes de surfaces
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Sections de cônes et cylindres illimités d’axes
(Oz) par des plans parallèles
aux plans de coordonnées.
Surfaces d’équation z
= x²+y² ou z = xy
coupées par des plans parallèles aux plans de coordonnées.
|
L’objectif est de montrer qu’une fonction de
deux variables peut être représentée par une surface et que des études
de coupes par des plans permettent leur étude à l’aide des outils déjà
vus pour les fonctions d’une variable. Pour les sections de cônes, on
pourra faire le lien avec les hyperboles d’équations xy
= k.
On visualisera sur écran les surfaces étudiées.
On entraînera à la reconnaissance des surfaces à
partir de coupes parallèles à un plan, et on associera des visions géométrique
et analytique.
|
REMARQUES :
Les études menées
dans les programmes antérieurs, que ce soit en géométrie pure ou analytique
dans l’espace ou à travers l’étude des fonctions, préparent d’une
certaine manière les élèves à aborder ce chapitre complètement nouveau
dans le programme de Terminale. Il ne faut pas s’attarder outre mesure sur
l’emploi du mot illimité qualifiant les cônes et les cylindres, car ces
surfaces ont déjà été vue avec cette acception en classe de première.
Le concept de
fonction de deux variables est nouveau. Il ne doit pas faire l’objet d’études
particulières. L’objet intéressant ici est plutôt l’équation à deux
variables. L’objectif de cette section du programme est de permettre aux élèves
de faire le lien entre trois « objets » :
• l’objet
géométrique surface (cônes, cylindres, paraboloïdes) ;
• l’objet
algébrique équation de la forme z = f(x,
y)
• l’objet
courbe plane associé aux coupes planes de la surface (cercle, parabole,
hyperbole) : notons à ce sujet que le type de coupes au programme exclut
le cas de l’ellipse.
Dans le programme de l’enseignement obligatoire au choix de Première
ES figure la rubrique suivante : sur des exemples simples de fonctions de
deux variables, représentation et lectures de courbes de niveau. Dans les
modalités de mise en œuvre, l’utilisation de logiciels est préconisée
afin de mettre en évidence les surfaces représentant ces fonctions, les
courbes de niveau apparaissant comme des sections de ces surfaces par des
plans horizontaux. L’approche est donc différente puisqu’on entre par les
fonctions, les surfaces venant seulement ensuite comme représentations de ces
fonctions. Dans le programme de spécialité de terminale S, comme il a été
dit au paragraphe précédent, les points de vue sont multiples et
l’approche par les fonctions n’est qu’une parmi d’autres.
Partie
II :
ACTIVITÉS
COMMENTÉES
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I) Arithmétique
Seule réelle
nouveauté de cette partie du programme: la nécessité de prendre en compte
les connaissances de base sur les nombres offertes par les nouveaux programmes
de collèges et de seconde de lycée:
|
Troisième
|
Seconde
|
|
les diviseurs communs à deux nombres ( quand il est
possible de les exhiber tous facilement ),
un algorithme pour trouver le plus grand commun
diviseur de deux nombres ,
être capable de dire si une fraction est
irréductible ou non.
|
bilan sur les différents types de nombres
les nombres premiers
des exemples de décompositions en facteurs premiers
|
Le bagage de base,
culture commune indispensable à tout citoyen, est donc déjà acquis.
Conséquence: On
peut donc aller un peu plus loin: Ainsi les congruences font maintenant partie
des contenus du programme ( alors qu'elles faisaient parties des travaux
pratiques dans le précédent et n'étaient pas considérées comme des
connaissances exigibles ).
Mais sans doute
ne faut-il pas introduire trop vite cette relation de congruence et laisser
pendant un moment les élèves revenir à la division euclidienne afin que
d'une part
l'introduction des congruences ne nuise pas à la compréhension (les
congruences permettent d'aller plus vite mais pas nécessairement de comprendre
plus vite). Il faudrait donc que, comme pour le théorème du barycentre
partiel en première, les congruences et leurs propriétés finissent par
s'imposer d'elles-mêmes.
d'autre part l'efficacité
du langage des congruences soit nettement perçue. ( et il faudrait donc
pour cela que les élèves se soient trouvés confrontés à la lourdeur de la résolution
de certains problèmes lorsqu'on ne dispose pas de cet outil ).
|
Comment
faut-il choisir n pour que 2n -1 soit divisible par 9 ?
Cette condition étant réalisée montrer que 2n
- 1 est alors divisible par 63.
|
Facile avec
les congruences;
On détermine la périodicité des restes de la
division de 2n par 9. On envisage tous les cas de restes
possibles et on prouve que
2n – 1 est divisible par 9 si, et
seulement si, n est un multiple de 6.
On s'intéresse ensuite au reste de la division de 26k
-1 par 7 .
Gauss permet de conclure
|
Ce programme devrait
permettre aux élèves :
De mieux maîtriser
la spécificité des éléments des ensembles N
et Z par opposition
à celle des éléments de R
et Q ( par exemple
les équations a x = b où a et b sont des
entiers ne s'envisagent pas de la même manière suivant que l'on recherche x
dans Z ou dans R ).
De construire des racines pour les études futures (
les élèves trouveront dans leur cours de spécialité des exemples de
structures algébriques, un exemple de relation d'équivalence compatible avec
des opérations etc … )
De
mettre en œuvre des raisonnements très variés et d'inventer des démarches
non stéréotypées.
( disjonction des cas, conditions nécessaires puis suffisantes,
contraposée, récurrence, essais , conjecture puis preuve …).
Par exemple: ( les exercices qui suivent ne présentent aucune originalité
particulière )
|
Recherche
de l'ensemble E des entiers naturels n tels que n² - 3 n + 6 soit
divisible par 5.
|
Raisonnement
possible par disjonction des cas.
On peut commencer par exemple par prouver que le
problème revient à chercher n
tel que n( n - 3 ) ait pour
reste 4 dans la division par 5.
On essaie tous les restes possibles de la division de
n par 5.
|
|
a
et b sont deux entiers naturels non nuls tels que a < b . M et D sont
respectivement les PPMC et PGCD de a et de b .
Déterminer les couples (a,b) tels que 2M+3D=78
|
Possibilité de
limiter la recherche en précisant des conditions nécessaires.
CN1 : D/ 78
CN2: 2/D
CN3:
2 M = 3 ( 26 - D ) donc
D < 26
Conclusion : D ne peut être égal qu'à 2 ou 6.
On essaie D = 2
puis D = 6.
|
|
Pour
quelles valeurs de l'entier naturel n
la fraction
est-elle irréductible?
|
Possibilité de
raisonner par contraposée.
Si A non irréductible alors il existe un diviseur
commun d non nul et différent de 1 à
n² +
n et 2n+
1.
donc nécessairement un diviseur commun à n²+n
et (2n+1)²
donc nécessairement commun à n²+ n et 4n²
+ 4n +
1.
Si A non irréductible alors il existe d non nul et
différent de 1 et diviseur de 1.
Il n'existe pas d non nul ,distinct de 1 et diviseur
de 1 donc A est irréductible.
|
|
Déterminer
les entiers naturels n tels que
soit un entier.
|
Travail par CN
puis on délègue par exemple à un tableur.
Si
et donc n £
13. Il ne reste plus qu'à essayer tous les entiers inférieurs ou égaux
à 13.
|
|
n est un
entier naturel. Quel est le chiffre des unités du nombre 3n ?
|
Quelques
essais permettent des conjectures .Pour obtenir une preuve, les élèves
auront à s'intéresser aux restes dans la division par 10 des puissances
de 3.
|
Exemple de situations apparemment voisines qui ne se résolvent
pas du tout de la même façon.
|
Montrer que, pour tout entier naturel supérieur à 2
, n²(n²-1)(n²-4) est divisible par 180.
|
180
= 4´9´5
n²(n²-1)(n²-4)
= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)n
Deux fois
trois nombres entiers consécutifs donc divisibilité par 9.
Deux fois deux nombres entiers consécutifs donc
divisibilité par 4.
Cinq entiers consécutifs donc divisibilité par 5.
Gauss permet de conclure.
|
|
Montrer que, pour tout nombre premier p supérieur à
5, p²-1 est divisible par 24.
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24 = 8´3
Dans une division par 8 les restes possibles sont
{0,1,2,3,4,5,6,7}.
CN: p
premier donc p impair, les restes ne peuvent être que {1,3,5,7}
si p º
1[8] alors p²-1 multiple de 8
si p º
3[8] alors p² º
9[8] donc p²-1 multiple de 8
si p º
5[8] alors p² º
25[8] or 25 º1[8]donc
p²-1 multiple de 8
si p º
7[8] alors p² º
49[8] or 49 º1[8]
donc p²-1 multiple de 8
p premier et p>5 donc p n'est pas un multiple de
3.
si p º
1[3] alors p²-1 º
0[3]
si p º
2[3] alors p²-1 º
0[3]
Gauss permet de conclure.
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II) Les
similitudes planes
|
Seconde
|
Première
|
|
les
triangles isométriques
les
triangles de même forme
Les élèves apprennent à reconnaître des triangles
de même forme.
|
les
translations et homothéties.
les élèves peuvent repérer que
les
homothéties transforment un triangle en un triangle de même forme.
lorsque
ABC et A'B'C' sont de même forme dans certains cas il existe une homothétie
qui transforme A en A', B en B' et C en C'.
|
En spécialité, les élèves vont pouvoir faire
une synthèse sur les agrandissements et réductions.
Nouveau:
Le précédent programme de spécialité mettait beaucoup l'accent sur les
composées de transformations :
similitudes
directes fixant un point O introduites comme composée d'une homothétie de
centre O et d'une rotation de centre O.
décomposition
d'une rotation et d'une translation en produit de symétries axiales
composée de
translations et de rotations
composées de
translations et de symétries axiales.
composées
d'homothéties et de translations.
Ainsi les élèves
disposaient d'un inventaire des déplacements plans.
Exemple de démarche
possible pour introduire les similitudes en prenant en compte les nouveaux
acquis:
1°) Introduction :
Etude de la
composée d'une homothétie de centre O, de rapport strictement positif et d'une
rotation de centre O. Effet sur les distances, sur les angles orientés de
vecteurs, traduction dans le plan complexe. On obtient une transformation qui
transforme un triangle en un triangle de même forme.
Etude de la
composée d'une homothétie et de la réflexion d'axe x'Ox.. Effet sur les
distances, sur les angles orientés de vecteurs, traduction dans le plan
complexe. On obtient aussi une transformation qui transforme un triangle en un
triangle de même forme.
etc …
>> Bilan 1 : On a trouvé des
transformations du plan qui transforment un triangle en un triangle de même
forme et qui se traduisent dans le plan complexe soit par z
= az + b soit par
z = aß
+ b .
2°) Définition d'une similitude donnée par le
programme.
Exemple de similitudes:
On connaît déjà
des similitudes: les isométries, les
homothéties…
…et, encore mieux, on
peut en fabriquer d'autres: les composées d'homothétie et d'isométrie!
et puis la composée d'une similitude est une similitude.
De plus, comme le préconise le programme, on peut déjà,
en s'appuyant sur le programme de la partie obligatoire, caractériser tous ces
exemples de similitudes par une écriture complexe de la forme
z #
az + b
ou de la forme z #
aß
+ b .
3°)Toute similitude transforme un triangle en un
triangle de même forme
.
Question : Etant donnés deux triangles de même
forme, existe-t-il une similitude qui transforme l'un en l'autre ?
Avec un logiciel de géométrie on peut facilement mettre
en évidence que la réponse est "oui".
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Un glissement -(
une translation t ) …
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suivie d'une réflexion s …
|
suivie d'une rotation
r et pour finir d'une homothétie h .
La similitude h o r o s o t transforme ABC en le
second triangle.
|
>>Bilan 2: Les triangles de même forme sont des triangles semblables
!
4°) On connaît des similitudes.
Nouvelle question:
N'y a -t-il que celles là ? Autrement dit, toute similitude peut-elle être décomposée
en le "produit" d'une isométrie et d'une homothétie ?
sans pb.
>>Bilan 3 : première caractérisation des
similitudes : Les similitudes
sont …
5°) Il y a celles qui conservent l'orientation et
celles qui inversent l'orientation .
A condition
d'admettre(ou de démontrer si on a le temps et le « public ») que
les seuls déplacements plans sont les translations et les rotations, cette
caractérisation permet d'obtenir la caractérisation complexe de toute
similitude. directe.
Si on travaille sur une similitude indirecte, en la
composant par la réflexion d'axe x'Ox, on obtient une similitude directe et on
revient au cas précédent.
>>Bilan 4: Seconde caractérisation des similitudes : la
caractérisation complexe.
6°) Le travail sur les similitudes directes
semble ensuite plus classique.
Liste d'exercices
susceptibles de permettre de mieux cibler ce qui est exigible sur les
similitudes et ce qui ne l'est pas ..
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Le plan complexe est rapporté à un repère
orthonormal direct.
A est le point d'affixe -1 + 2i et K celui d'affixe
i.
Pour tout point M d'affixe z, on note M1
le point image de M par le quart de tour indirect de centre O. M' est l'isobarycentre
de AMM1.
Quelle est la nature de l'application qui à tout
point M associe M' ?
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Reconnaître et caractériser une similitude directe.
grâce à son écriture complexe.
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Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels
que |(-1 + i)ß
+
4 + 8i| =2¸
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Soit f l'application du plan qui se traduit dans le
plan complexe par
z' = iß
+ (1 – i)
1°) Déterminer les images par f des points d'affixe
1 et 2 + i
2°) Quelle est la nature de f ?
2°) En déduire l'ensemble des points M d'affixe z
tels que: |iß
+
(1-i)| =2¸
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Similitude admettant deux points fixes distincts.
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ABCD carré direct de centre O.
M point libre sur le segment [DC].
La perpendiculaire en A à la droite (AM) coupe (BC)
en N. On désigne par I le milieu de [MN].
Quel est le lieu du point I lorsque M décrit le
segment [DC]?
(Indication : déterminer l'image de la droite (DC)
puis celle du point M par le quart de tour indirect de centre A).
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Dans le dessin ci-contre ABC est un triangle direct.
O1 O2 et O3 sont les
centres des trois carrés .
Que peut-on dire des segments [O2O3]
et [AO1] ?
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A a pour affixe 3i et C pour affixe 4.
O1 O2 et O3 sont les
centres des trois carrés .
1°) f est la similitude directe de centre B, de
rapport ¸et
d'angle p/4.
G est la similitude directe de centre A de rapport 1/¸
et d'angle -p/4.
Quelles sont les images de A et O1 par la
composée g o f ?
2°) Déterminer la caractérisation complexe de f ,
de g et de gof.
3°) Démontrer que AO1 = O2O3
et que les droites (AO1) et (O2O3 ) sont
perpendiculaires.
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Dans le plan orienté on considère le carré OABC
direct. I est le centre du carré OABC et J le milieu de [OI].
Soit f la similitude directe telle que
f(O)=I et f(A) = J.
1°)
a) Déterminer l'angle et le rapport de f .
b) Construire C' l'image de C par f.
c) Déterminer f(B).
2°) Soit K le centre de la similitude f.
Montrer que O,K, I et C sont cocycliques.
Montrer que O,K A et J sont cocycliques.
En déduire une construction de K.
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Le plan complexe est rapporté à un repère
orthonormal direct .
A est le point d'affixe d où d Î
R+*
OABC est un carré direct.
I est le centre du carré OABC et J le milieu de [OI].
Soit f la similitude directe telle que
f(O)=I et f(A)
= J.
1°) Déterminer l'angle et le rapport de f.
2°) Déterminer la caractérisation complexe de f.
3°) Quelle est l'affixe du centre de f ?
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II) Sections
planes de surfaces.
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Seconde
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Première
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On part
des solides vus au collège pour modéliser les objets de l'espace
( on passe ainsi par exemple de la face d'un cube au plan contenant
cette face ).
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Première
vision de l'équation d'une droite sous sa forme générale ux+vy+w = 0
On
coupe des solides par des plans.
Equation
de quelques objets de l'espace.
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En
terminale on coupe quelques surfaces par des plans et on reconstruit certaines
d'entre elles grâce à leurs coupes par des plans comme l'illustrent les
captures d'écran suivantes .
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Représentation du paraboloïde
d'équation z
= x²+ y².
réalisées avec le logiciel géospacW
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Exemple du cône d'équation
z =
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Dans cette rubrique du programme, la colonne des contenus
est vide. Sans doute peut-on en déduire que cette partie du programme ne fera
pas, du moins à elle seule, l'objet d'un exercice au Bac !
Partie
III : THÈMES
D’ACTIVITÉS
DANS LES TPE
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L'arithmétique
permet
de trouver des
méthodes pour réaliser des codages.
de trouver des
méthodes pour crypter et décrypter
de trouver des
méthodes pour numériser. ( ce qui ouvre des perspectives pour travailler la résolution
d'une image: pixels, pointillisme );
de trouver des
méthodes pour simuler des expériences. ( par exemple tester toutes les issues
possibles d'un jeu qui commencerait par n tirages successifs et avec remise dans
une urne contenant k boules )
de maîtriser
la numération en binaire ou autre, en particulier hexadécimal. ( piste
de TPE : transmettre plus et plus vite
)
de déterminer
la période commune à deux ou trois événements périodiques.
La géométrie
peut
rendre
possible le calcul de distances astronomiques ( Piste
de TPE : mesurer le système solaire distance Terre Soleil, Terre étoile ).
la
construction de fractale avec un logiciel de géométrie.
de simuler des
mouvements ( en travaillant à donner l'illusion du mouvement
: roue qui roule sans glissement sur un plan horizontal ). Possibilité
de confronter ce point de vue avec un enregistrement vidéo ( Piste de TPE
: simulation de mouvements )
Le travail réalisé
sur les surfaces (grâce
à une meilleure maîtrise de l’espace)
Peut
permettre éventuellement à des élèves de découvrir des stratégies pour se
repérer efficacement sur un cylindre ( et d'aller peut-être vers les
coordonnées cylindriques )
Peut
permettre de mieux se repérer sur une sphère ( et d'aller peut-être vers les
coordonnées sphériques ). Une piste de travail dans l'un des axes de réflexion
des TPE en terminale S est :
"se repérer sur la terre : latitude, longitude, positionnement par
satellite".
Se repérer
sur une surface facilite la recherche d'un plus court chemin sur cette surface.
Les surfaces
réglées sont présentes en architecture ( la piste du vélodrome du parc des
princes serait une surface réglée! ) .
Les surfaces
réglées peuvent permettre de traiter des problèmes de lieux dans l'espace
.Paramétrer
un point d'une surface peut permettre d'obtenir des informations sur l'
intersection d'un cylindre et d'une sphère ou d'un cône et d'une sphère ( ce
qui peut permettre par exemple d'ajuster au mieux une pièce cylindrique à une
sphère
Le travail réalisé
sur les surfaces peut ouvrir aussi des perspectives dans les dessins en 3D.
Dans le
domaine de la cristallographie une meilleure maîtrise de l'espace peut
faciliter l'étude géométrique des mailles, le calcul de distances dans des
solides de l'espace.
Autres pistes
possibles (en liaison avec l’enseignement obligatoire) :
Plus
courts chemins dans différents milieux : (le chemin le plus court n'est pas
toujours le meilleur ; il y a une optimisation à faire en fonction des
contraintes imposées par les milieux : Principe de Fermat, loi de Malus).
exemple de la réfraction
: angle de réfraction fonction de l'angle d'incidence; fonction qui peut
être parfois modélisée par une fonction linéaire dans le cas de petits
angles , parfois par une fonction sinus.
Mesurer la
longueur d'une côte marine, l'aire ou le volume d'un poumon:
peut ressembler à un travail sur les objets fractales. Le calcul de la longueur
d'une courbe ou de l'aire d'une région peut offrir une occasion de mettre en œuvre
des démarches similaires à celles utilisées dans le calcul intégral.
Rendre
lisible la complexité:
Par exemple modéliser la charge d'un condensateur à
tension constante ( elle se modélise par une fonction exponentielle qui peut être
prise pour une fonction affine dans certains intervalles
Oscillateurs , résonances, radioactivité.
travailler un sujet emprunté
à l'un de ces thèmes amène naturellement à des équations différentielles.
Partie
IV :TICE
ET ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
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I) Étude des programmes
À partir des programmes, on peut recenser les sujets
suivants où le support informatique peut (doit) être sollicité :
Arithmétique
On renforce les trois modes de travail : à la main,
avec une calculatrice ou avec un tableur ( on pourrait sans doute aussi suggérer
un logiciel de calcul formel tel que Derive ou Maple).
On souhaite la lise en évidence d’algorithmes simples
pour :
• calculer le PGCD de deux nombres ;
• décomposer un entier en produit de facteurs
premiers ;
• reconnaître la primalité d’un nombre ;
• résoudre des équations diophantiennes ;
• donner des applications de codage ;
• donner des applications de cryptographie.
Similitudes planes
L’utilisation d’un logiciel de géométrie (Cabri, Déclic,
Geoplan,…) peut permettre :
• la mise en évidence de la caractérisation
d’une similitude plane ;
• l’étude de configurations mettant en jeu les
similitudes planes ;
• la recherche de lieux mettant en jeu les
similitudes planes ;
• la résolution de problèmes de construction
mettant en jeu les similitudes planes.
Sections planes de surfaces
L’utilisation d’un logiciel de géométrie tel que
Geospace ou d’un logiciel de calcul formel (Derive ou Maple) ou d’un tableur
peut permettre :
• de visualiser sur écran les sections planes de cônes
ou de cylindres d’axe (Oz) par des plans parallèles aux axes de coordonnées
et de faire le lien avec les hyperboles d’équation x y = k ;
• de faire l’étude des surfaces d’équation z = x² + y²
et z = x y ;
• de faciliter la reconnaissance de surfaces à
partir de coupes parallèles à un plan en associant visions géométriques et
visions analytiques.
Types d’activités à rechercher sur des sites
internet
De
nombreux sites ministériels, académiques
ou privés présentent :
• des imagiciels pouvant illustrer un cours ;
• des activités introductives à certains concepts ;
• des travaux pratiques de mise en œuvre du cours ;
• des approfondissements scientifiques de contenus
à enseigner ;
• des exemples d’application à d’autres
disciplines, voire de sujets de TPE ;
• des aides pour la formation continue des
enseignants en matière d’utilisation des TICE.
Une liste
(non exhaustive !) d’adresses de sites est communiquée en annexe.
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