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On considère une fonction continue sur un intervalle I = [a ; b] et vérifiant f(a)f(b) < 0 donc s’annulant  pour une valeur a de cet intervalle. On construit une suite d’intervalles « emboîtés » I_n = [a_n ; b_n], tels que a_n ou b_n soit le milieu de l’intervalle précédent I_n-1 et contenant la racine a.

L’un des intérêts de cette étude est que les deux suites sont construites à partir d’une condition « si…alors » et non par une formule algébrique simple.

Algorithme 1 (cf.la feuille de calcul 4 du classeur Excel dichotomiPerso.xls)

·        Initialisation : a₁ et b₁. (ce choix dépend d’une étude préalable prouvant l’existence d’une racine unique sur l’intervalle [a₁ ; b₁])

·        Itération :

Il semble difficile de faire les élèves prouver la construction de deux suites adjacentes à partir de cet algorithme général. On peut simplifier les démonstrations en faisant une hypothèse supplémentaire :

f est croissante strictement sur [a ; b].

D’où l’algorithme 2 (cf.les feuilles de calcul 2 et 3 du classeur Excel dichotomiPerso.xls)

·        Initialisation :  on choisi a₁ et b₁ tels que  f(a₁)< 0 et f(b₁) > 0.  

    (ce choix dépend d’une étude préalable prouvant l’existence d’une racine unique a sur l’intervalle [a₁ ; b₁])

·        Itération :

·        Et on recommence cette opération dans l’intervalle [a₂ ; b₂], et ainsi de suite…

On construit ainsi deux suites adjacentes qui convergent vers la solution a de l’équation 

f(x) = 0  et une suite d’intervalles emboîtés.

En ce qui concerne les démonstrations :

·        Par récurrence :

1.      Pour tout entier  n, a_n<0 et b_n>0.

2.      La suite (a_n) est croissante (non strictement).

3.      La suite (b_n) est décroissante (non strictement).

4.      Pour tout entier naturel n :

5.      Pour tout entier  n :

Ces résultats prouvent que les deux suites construites sont adjacentes et convergent vers a

·        La fin de la démonstration nécessite la continuité de f en a.