Géométrie et nombres complexes en terminale S
Ce document comporte deux parties :
EN GUISE DE PRÉAMBULE :
un exemple bien connu de configuration où il est question d’alignement.
Il s’agit de mettre en évidence dans cette introduction, les orientations citées dans les programmes de lycée : résoudre des problèmes en géométrie en s’appuyant sur toutes les connaissances du cursus scolaire et en choisissant l’outil pertinent.
Voici quelques extraits des programmes et des documents d’accompagnement.
En Seconde, on peut lire dans le document d’accompagnement :
« Pour toute la partie géométrie, le programme donne deux orientations fondamentales :
- prendre du temps pour s’adonner à une vraie recherche de problèmes - en respectant toutes les étapes relatives à ce type de recherche ( conjectures et expérimentations, recherche de preuves, mise en forme d’une démonstration)- ;
- s’appuyer sur des notions fortement liées à la perception (forme, taille, aire, …) pour progresser dans la maîtrise des savoirs géométriques. »
En Première S, on lit dans l’introduction du chapitre géométrie du programme :
« La géométrie est une école de pensée : on veillera à allier observations (à l’aide de logiciels de géométrie dynamique notamment) et mise en évidence des démarches et des propriétés des objets étudiés permettant de confirmer ou d’infirmer ces observations… »
En Terminale S, l’introduction de la partie géométrie du programme est la suivante :
« L’objectif de ce paragraphe est d’entretenir la pratique des objets usuels du plan et de l’espace et de fournir quelques notions nouvelles permettant de parfaire l’approche entreprise dans les classes antérieures sur la géométrie vectorielle ou repérée. Dans le prolongement du repérage polaire introduit en première, les nombres complexes, outre leur intérêt historique, algébrique et interdisciplinaire pour la poursuite des études fournissent un outil efficace dans les problèmes faisant intervenir les transformations planes. »
Voici une configuration bien connue des collégiens et des lycéens qui peut réapparaître tout au long de leur cursus de la quatrième à la Terminale S. Nous verrons que le problème d’alignement peut-être résolu différemment suivant le niveau de l’élève.
ABDE est un carré ; DEF et BCD sont des triangles équilatéraux.
Montrer que A, F et C sont alignés.
En classe de quatrième, où les élèves commencent à savoir démontrer et où les connaissances sur les angles sont suffisantes, on pourra leur demander de montrer que l’angle géométrique est plat.
On déterminera l’angle en utilisant le fait que le triangle AEF est isocèle en E et que les angles et sont complémentaires.
On connaît l’angle car le triangle EFD est isocèle.
On montrera que l’angle vaut 45° en montrant d’abord que FDC est isocèle et rectangle.
Par somme, on pourra conclure.
En classe de seconde, on pourra montrer que les coordonnées des vecteurs et sont proportionnelles.
Pour cela, on choisira le repère (E ; ; ).
On pourra déterminer sans mal les coordonnées des points E, D, B, A.
Pour les points F et C, on pourra utiliser les relations trigonométriques dans le triangle rectangle.
Toujours en classe de seconde, on pourra montrer que les coordonnées du point F vérifient l’équation réduite de la droite (AC).
On procèdera comme précédemment pour déterminer les coordonnées des points.
Le calcul du coefficient directeur de (AC) comporte des radicaux, un bon exercice de calcul numérique.
L’ordonnée à l’origine se lit toute seule.
Vérifier que les coordonnées de F vérifient l’équation de (AC) est aussi un bon exercice de calcul numérique.
En classe de première S, on pourra montrer que les images de C, F et A par la rotation de centre D et d’angle p/3 sont alignées.
L’image de C est B.
L’image de B est E.
L’image de A est un point équidistant de A et D, donc il est sur la droite (EB).
En classe de première S , on pourra également montrer que A est le barycentre des points C et F affectés de coefficients que l’on déterminera.
On note : O le centre du carré ABDE.
On note : J le milieu de [AB].
On note : K le milieu de [BD].
On montre d’abord que F est le barycentre du système {(O,2-Ö3),(J,Ö3-1)}
Puis que C est le barycentre de {(O ,-Ö3),(K,1+Ö3)}
On montre que A est le barycentre de {(J,1),(K,-1),(O,1)}
Et enfin , on montre que A est le barycentre de {(C,2-Ö3),(F,-1)}
En classe de Terminale S, j’ai imaginé qu’on pourrait montrer que l’angle orienté est nul en montrant que le complexe (c-a)/(f-a) est un réel positif.
On détermine facilement les affixes des points A, B, D, E dans le repère (A, , ).
En utilisant le fait que F est l’image de D par la rotation de centre E et d’angle p/3, on peut déterminer l’affixe de F.
C’est l’image de D par la rotation de centre B et d’angle p/3, on peut donc calculer l’affixe de C.
Il ne reste plus qu’à calculer (c-a)/(f-a) et constater que c’est un réel positif.